On considère la topologie suivante.

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Exercices de licence Les exercices sont de : Cornélia Drutu (algèbre et théorie des nombres) Volker Mayer (topologie, analyse réelle) Leonid Potyagailo (algèbre et géométrie) Martine Queffélec (analyse réelle, analyse complexe) Les sujets d’examens sont de : Anne-Marie Chollet (variable complexe : VC) Gijs Tuynman (analyse réelle et complexe : AR et ARC) Table des matières 2 Table des matières I Topologie 4 1 Notions de topologie I 4 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Topologie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Adhérence, intérieur, frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Espaces métriques, espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Notions de topologie II 8 2.1 Topologie séparée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Topologie induite, topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Fonctions continues sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Continuité dans les espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 Topologie des espaces métriques, normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6 Comparaison de topologies et de métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.7 Suites, limites et valeurs d’adhérence, points d’accumulation et points isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Notions de topologie III 15 3.1 Homéomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Dualité, isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Prolongement de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4 Métrique de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.5 Théorème de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 Connexité 18 4.1 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Compacité 21 5.1 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.2 Compacité dans les espaces métriques, normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 II Analyse réelle 27 6 Applications linéaires bornées 27 6.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.2 Formes linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7 Espaces métriques complets, Banach 29 7.1 Espaces métriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.2 Espaces normés, Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 8 Théorème du point fixe 32 9 Applications uniformément continues 34 9.1 Applications uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9.2 Équicontinuité, théorème d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 10 Applications différentiables 37 10.1 Applications différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 11 Théorème d’inversion locale et des fonctions implicites 41 11.1 Théorèmes d’inversion ; difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11.2 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 11.3 Sous-variétés de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 12 Différentielles d’ordre supérieur, formule de Taylor, extremums 46 12.1 Différentielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 12.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 12.3 Formule de Taylor, extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 13 Equations différentielles 48 13.1 Equations différentielles : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 13.2 Solutions maximales d’équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 13.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 13.4 Systèmes à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 13.5 Résolvantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 13.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 III Algèbre et géométrie 57 1 Notions de topologie I 5 3. Décrire la topologie sur R dont la famille des intervalles fermés forme une base d’ouverts ; même question avec les intervalles ouverts symétriques. 4. Soit X un ensemble infini. Montrer que la famille d’ensembles constituée de l’ensemble vide et des parties de X de complémentaire fini définit une topologie sur X. Exercice 5 Soit X un espace topologique, et f une application quelconque de X dans un ensemble Y . On dit qu’une partie A de Y est ouverte, si f−1(A) est un ouvert de X. Vérifier qu’on a défini ainsi une topologie sur Y . Exercice 6 Montrer qu’on peut construire sur R ∪ {∞} une topologie séparée en prenant comme ouverts, les ouverts de R et les ensembles de la forme {x/|x| > a} ∪ {∞} où a est réel. Comment construire une topologie séparée sur R ∪ {+∞} ∪ {−∞} ? Exercice 7 Soit X un ensemble non vide et Σ une famille de parties de X stable par intersection finie et contenant X. Montrer que la plus petite topologie T contenant Σ (la topologie engendrée par Σ) est constituée des unions d’ensembles de Σ, ou, de façon équivalente, A ∈ T ⇐⇒ ∀x ∈ A ∃S ∈ Σ ; x ∈ S ⊂ A. Montrer que l’on peut affaiblir l’hypothèse de stabilité par intersection finie en : (∗) ∀S1, S2 ∈ Σ, ∀x ∈ S1 ∩ S2, ∃S3 ∈ Σ ; x ∈ S3 ⊂ S1 ∩ S2. Exercice 8 Soit C l’ensemble des fonctions continues réelles sur [0, 1]. Pour toute f ∈ C et ε > 0 on définit M(f, ε) = {g/ ∫ 1 0 |f − g| < ε}. Montrer que la famille M des ensembles M(f, ε) lorsque f ∈ C et ε > 0 est une base de topologie. Même question avec la famille U(f, ε) = {g/ sup x |f(x)− g(x)| < ε}. Exercice 9 U dans N est dit ouvert s’il est stable par divisibilité, c.a.d. tout diviseur de n ∈ U est encore dans U . Montrer qu’on a défini ainsi une topologie sur N qui n’est pas la topologie discrète. Exercice 10 On considère dans N∗, la famille de progressions arithmétiques Pa,b = {a+ bn/n ∈ N∗}, où a et b sont deux entiers premiers entre eux. 1. Montrer que l’intersection de deux telles progressions est soit vide, soit une progression arithmétique de même nature, plus précisément, Pa,b ∩ Pa′,b′ = Pα,β où α est le minimum de l’ensemble Pa,b ∩ Pa′,b′ , et β = ppcm (b, b′). 2. En déduire que cette famille d’ensembles (en y adjoignant ∅) forme une base de topologie sur N∗ dont on décrira les ouverts. 3. Montrer que cette topologie est séparée. 1.3 Adhérence, intérieur, frontière Exercice 11 1. Montrer que si B est un ouvert de l’espace topologique X et A ∩ B = ∅, alors A ∩ B = ∅, mais que A ∩B n’est pas nécessairement vide. 2. Montrer à l’aide d’exemples que l’égalité ∪iAi = ∪iAi n’a pas lieu en général pour une infinité d’indices. Exercice 12 Déterminer l’adhérence et l’intérieur des ensembles suivants : Q ; R\Q ; {(x, y) ∈ R2 / 0 < x < 1, y = 0} ; {(x, y, z) ∈ R3 / x = 0} { 1n , n > 1} ; le cercle unité de R 2. Exercice 13 Si A est une partie de l’espace topologique X, on pose α(A) = ◦ A et β(A) = ◦ A. 1. Montrer que α et β sont des applications croissantes pour l’inclusion de P(X) dans P(X). 2. Montrer que si A est ouvert, A ⊂ α(A) et si A est fermé, β(A) ⊂ A. En déduire que α2 = α et β2 = β. 1 Notions de topologie I 6 3. Construire A ⊂ R tel que les cinq ensembles : A, A, ◦ A, α(A), β(A) soient tous distincts. Exercice 14 Déterminer l’adhérence dans R2 du graphe G = {(x, y)/y = sin 1 x , 0 < x 6 1}. Exercice 15 Dans un espace topologique, on définit la frontière d’une partie A comme étant ∂A = A \ ◦ A. 1. Montrer que ∂A = ∂(Ac) et que A = ∂A⇐⇒ A fermé d’intérieur vide. 2. Montrer que ∂(A) et ∂( ◦ A) sont toutes deux incluses dans ∂A, et donner un exemple où ces inclusions sont strictes. 3. Montrer que ∂(A ∪ B) ⊂ ∂A ∪ ∂B, et que l’inclusion peut être stricte ; montrer qu’il y a égalité lorsque A ∩B = ∅ (établir ◦ A ∪B⊂ ◦ A ∪ ◦ B). Montrer que ◦ A ∪B= ◦ A ∪ ◦ B reste vrai lorsque ∂A ∩ ∂B = ∅ (raisonner par l’absurde). Exercice 16 1. Soit X un espace topologique, et D un sous-ensemble (partout) dense dans X. Montrer qu’il est aussi équivalent de dire (i) Le complémentaire de D est d’intérieur vide. (ii) Si F est un fermé contenant D, alors F = X. (iii) D rencontre tout ouvert non vide de X. Montrer qu’un ensemble A ⊂ X rencontre toute partie dense dans X si et seulement si il est d’intérieur non vide. 2. Soit E et G deux ouverts denses dans X ; montrer que E ∩ G est encore dense dans X. En déduire que toute intersection dénombrable d’ouverts denses est une intersection décroissante d’ouverts denses. Exercice 17 Etablir les propriétés suivantes de l’adhérence d’un ensemble dans un espace topologique : 1. A = A 2. Si A ⊂ B alors A ⊂ B. 3. A ∪B = A ∪B Montrer que la formule A ∩B = A∩B n’est pas vraie en général ; montrer que 3. n’est pas vrai en général pour une infinité d’ensembles. Exercice 18 Etablir l’équivalence entre les propriétés suivantes : 1. ◦ A est le plus grand ouvert contenu dans A. 2. a ∈ ◦ A si et seulement si il existe un voisinage de a entièrement contenu dans A. Etablir pour l’intérieur d’un ensemble des propriétés analogues à celles de l’exercice 17. Exercice 19 On rappelle la construction de l’ensemble triadique de Cantor : on part du segment [0, 1] dont on supprime l’intervalle médian ] 13 , 2 3 [ ; à la deuxième étape, on supprime les intervalles ] 1 9 , 2 9 [ et ] 7 9 , 8 9 [ etc. On note Kn la réunion des intervalles restants à la n-ième étape, et K = ⋂ Kn.Quelle est l’adhérence et l’intérieur de K ? Exercice 20 Soit X un espace topologique, et D un sous-ensemble dense dans X. Montrer qu’il est aussi équivalent de dire 1. Le complémentaire de D est d’intérieur vide. 2. Si F est un fermé contenant D, alors F = X. 3. D rencontre tout ouvert de X. Montrer qu’un ensemble A ∈ X rencontre toute partie dense dans X si et seulement si il est d’intérieur non vide. Exercice 21 Soit E et G deux ouverts denses dans X ; montrer que E ∩G est encore dense dans X. Exercice 22 Soit f une application de R dans R telle que pour tout a > 0, l’ensemble des x vérifiant |f(x)| > a est fini. Montrer que {x/f(x) = 0} est dense dans R. Le vérifier sur l’exemple suivant : on énumère les rationnels r1, r2, r3, · · · , rn, · · · et on pose f(rn) = 1n si n > 1, f(x) = 0 ailleurs. Exercice 23 Montrer que { √ n− E( √ n), n > 1} est dense dans [0, 1], où E(x) désigne la partie entière de x. 1 Notions de topologie I 7 1.4 Espaces métriques, espaces vectoriels normés Exercice 24 1. Montrer que dans tout espace métrique (E, d) une boule fermée est un fermé, mais que l’adhérence d’une boule ouverte B(a, r) ne coincide pas nécessairement avec la boule fermée B′(a, r) (on pourra considérer dans (R2, ||.||∞), E = [0, 1] × {0} ∪ {0} × [0, 1] et la boule centrée en ( 12 , 0) de rayon 1/2). 2. Montrer que la famille des boules ouvertes de (E, d) vérifie la condition (∗) de l’exercice 7. Exercice 25 (E, ||.||) un evn. 1. Montrer que dans ce cas la boule fermée B′(a, r) est l’adhérence de la boule ouverte B(a, r). 2. Montrer que B(a, r) ⊂ B(b, R) ⇐⇒ r 6 R et ||a− b|| 6 R− r. Exercice 26 1. Si (x, y) ∈ R2, on pose ||(x, y)|| = max(|x + y|, |x − 2y|). Montrer qu’il s’agit d’une norme sur R2 et dessiner sa boule unité fermée. 2. Soit p, q deux normes sur Rn, Bp et Bq leurs boules unités fermées. Montrer que Bq ⊂ Bp ⇐⇒ p 6 q. Que signifie 12Bp ⊂ Bq ⊂ 2Bp ? Exemples. Exercice 27 Soit E un ensemble non vide, et X = EN l’ensemble des suites x = (xn) d’éléments de E. Pour x, y ∈ X, on pose p(x, y) = min{n/xn 6= yn} si x 6= y, et ∞ si x = y. 1. Montrer que d(x, y) = 1p(x,y) (avec 1 ∞ = 0) est une distance sur X qui vérifie l’inégalité ultramétrique d(x, z) 6 max(d(x, y), d(y, z)). 2. Quelles sont les boules ouvertes et les boules fermées pour cette métrique ? Exercice 28 1. Soit ||.|| une norme sur Rn et K sa boule unité fermée. Montrer que (i) K est symétrique, (ii) K est convexe, fermé, borné, (iii) 0 est un point intérieur à K. 2. Réciproquement, montrer que si K possède les trois propriétés ci-dessus, il existe une norme dont K soit la boule unité fermée, en considérant p(x) = inf{a > 0 ; xa ∈ K}. [Exercice corrigé] Exercice 29 On note X = l∞ l’espace des suites réelles bornées, et Y = c0 l’espace des suites réelles tendant vers 0, tous deux munis de la métrique (à vérifier) d(x, y) = supn |x(n)− y(n)|. Montrer que Y est fermé dans X. Montrer que l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang est dense dans Y mais pas dans X. Exercice 30 Soit E = {f ∈ C1([0, 1],R) ; f(0) = 0}. On pose ||f || = sup 06x61 |f(x) + f ′(x)|, et N(f) = sup 06x61 |f(x)|+ sup 06x61 |f ′(x)|. Montrer que ce sont deux normes équivalentes sur E. Exercice 31 Montrer que dans un espace normé, la boule unité est convexe. Réciproquement, supposons que l’espace vectoriel soit muni d’une applicationN de E dans R+ telle queN(λx) = |λ|N(x), et telle que {y/N(y) 6 1} soit convexe. Montrer que N(x+ y) 6 2 sup(N(x), N(y)), x, y ∈ E. Exercice 32 On considère dans R2, les deux applications n((x, y)) = sup t∈[0,1] |x+ ty|, m((x, y)) = ∫ 1 0 |x+ ty| dt. 2 Notions de topologie II 10 Exercice 49 1. Soit C l’espace des fonctions continues réelles sur [0, 1] muni de la métrique d1(f, g) =∫ 1 0 |f − g| dx, puis de la métrique d∞(f, g) = supx |f(x) − g(x)|. Vérifier que l’application f → ∫ 1 0 |f |dx de C dans R est 1-lipschitzienne dans les deux cas. 2. Soit c l’espace des suites réelles convergentes, muni de la métrique d(x, y) = supn |x(n) − y(n)|. Si on désigne par l(x) la limite de la suite x, montrer que l est une application continue de c dans R. En déduire que c0 est fermé dans c. Exercice 50 Soit f, g deux applications continues de X dans Y , espaces topologiques, Y étant séparé. 1. Montrer que {f = g} est fermé dans X ; en déduire que si f et g coincident sur une partie dense de X, alors f = g. 2. Application : Soit f une fonction continue de R dans R, telle que f(x+y) = f(x)+f(y) pour tous x, y ∈ R. Montrer que f(r) = rf(1) pour tout rationnel r et en déduire l’expression de f . Exercice 51 Soit E et F deux espaces vectoriels normés et on note BE la boule unité fermée de E. Soit u une application de E dans F telle que (i) u(x+ y) = u(x) + u(y), ∀x, y ∈ E. (ii) u(BE) est bornée dans F . 1. Calculer u(rx), x ∈ E, r rationnel. 2. Montrer que u est continue en 0, plus précisément : ∃M > 0 ; ∀x 6= 0 ||u(x)|| 6 M ||x||. 3. Montrer que u est continue et linéaire. Exercice 52 Soit O un ouvert de l’espace topologique produit X×Y . Montrer que pour tout x ∈ X, l’ensemble Ax = {y ∈ Y/(x, y) ∈ O} est un ouvert de Y . Le vérifier sur {(x, y) ∈ R2/xy > 1, x+ y < 4}. Exercice 53 Montrer que si f est continue de X dans Y , espaces topologiques, Y étant séparé, son graphe G est fermé dans X × Y . Etudier la réciproque en considérant l’hyperbole équilatère. Exercice 54 Soit f : X → Y , espaces topologiques. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) f est continue. (ii) f−1(B) ⊂ f−1(B) pour toute partie B de Y . (iii) f−1( ◦ B) ⊂ ◦ f−1(B) pour toute partie B de Y . En déduire ∂f−1(B) ⊂ f−1(∂B) pour toute partie B de Y . Exercice 55 Une application de X dans Y est dite ouverte si l’image de tout ouvert de X est un ouvert de Y ; fermée si l’image de tout fermé de X est un fermé de Y . 1. Montrer qu’une fonction polynômiale de R dans R est une application fermée. 2. Montrer que l’application (x, y) ∈ X×Y → x ∈ X est ouverte mais pas nécessairement fermée (considérer l’hyperbole équilatère de R2). 3. Montrer que la fonction indicatrice de l’intervalle [0, 12 ], comme application de R dans {0, 1}, est surjective, ouverte, fermée, mais pas continue. 4. Montrer que toute application ouverte de R dans R est monotone. Exercice 56 1. Montrer que f est continue si et seulement si f(A) ⊂ f(A) pour tout A dans X. Que peut-on dire alors de l’image par f d’un ensemble dense dans X ? 2. Montrer que f est fermée si et seulement si f(A) ⊂ f(A), et que f est ouverte si et seulement si f( ◦ A) ⊂ ◦ f(A). Exercice 57 Soit C l’espace des fonctions continues réelles sur [0, 1] muni de la métrique d(f, g) = ∫ 1 0 |f−g| dx, puis de la métrique d(f, g) = supx |f(x)− g(x)|. Vérifier que l’application f → ∫ 1 0 fdx de C dans R est continue dans les deux cas. Exercice 58 Soit c l’espace des suites réelles convergentes, muni de la métrique d(x, y) = supn |x(n) − y(n)|. Si on désigne par l(x) la limite de la suite x, montrer que l est une application continue de c dans R. 2 Notions de topologie II 11 Exercice 59 Soit X un ensemble infini muni de la topologie dont les seuls ouverts sont : l’ensemble vide, et les parties de complémentaire fini. Montrer que si Y est un espace séparé, toute application continue de X dans Y est constante. Exercice 60 Soit X un espace métrique et Y un sous-ensemble de X. Montrer que Y est fermé si et seulement si il existe une application continue f : X → R telle que Y = {x/f(x) = 0}. Exercice 61 Soit f une application ouverte de X dans Rn, et A une partie de X. Montrer que pour tout a dans l’intérieur de A, ‖f(a)‖ < sup x∈A ‖f(x)‖. 2.5 Topologie des espaces métriques, normés Exercice 62 Si A est une partie bornée d’un espace métrique (E, d), on pose diamA = supa,b∈A d(a, b). 1. Montrer que diamA = diamA. 2. Trouver le diamètre de {f ∈ C([0, 1]) ; 0 6 f 6 1} ; de {f ∈ C([0, 1]) ; 0 6 f 6 1, f(0) = 0}, C étant muni de la métrique d1. Exercice 63 Soit (X, d) un espace métrique ; montrer que l’application (x, y) → d(x, y) est continue sur le produit X ×X. Exercice 64 Soit (E, d) un espace métrique et A une partie de E ; retrouver les propriétés de la fonction dA : x→ d(x,A) : 1. dA est 1-lipschitzienne ; d(x,A) = d(x,A) et dA(x) = 0 si et seulement si x ∈ A. 2. Montrer que {x ∈ E ; d(x,A) < ε} est un ouvert contenant A. 3. Montrer que tout fermé de E est un Gδ et que tout ouvert est un Fσ. Exercice 65 (Support d’une fonction continue) Soit f : E → R une fonction continue définie sur un espace topologique E. On appelle support (fermé) de f , S = S(f) = {x ∈ E ; f(x) 6= 0}. 1. Montrer que S = ◦ S. 2. Réciproque. On suppose E métrique et A ⊂ E fermé vérifiant A = ◦ A. Montrer qu’il existe f : E → R une fonction continue telle que A = S(f). Exercice 66 1. Montrer qu’un espace métrique possède une propriété forte de séparation, à savoir : deux fermés disjoints F1 et F2 peuvent être séparés par deux ouverts disjoints, en considérant {x/d(x, F1) > d(x, F2)}. 2. Montrer que la propriété précédente est équivalente à l’existence d’une fonction continue f valant 0 sur F1 et 1 sur F2 (considérer f(x) = d(x,F1) d(x,F1)+d(x,F2) ). Exercice 67 Soit (X, d) un espace métrique avec métrique bornée. On note F l’ensemble des fermés non vides de X, et on définit pour A et B dans F , δ(A,B) = ‖dA − dB‖∞ où dA est la fonction bornée x→ d(x,A). Montrer qu’on a défini ainsi une métrique sur F , et que l’application a→ {a} est une isométrie de X dans F . Exercice 68 Soit E un espace vectoriel normé sur R ou C. 1. Vérifier que l’application (λ, x) → λx est continue ; que (x, y) → x+y est lipschitzienne ainsi que l’applica- tion x→ ‖x‖ ; et que les translations et les homothéties sont des homéomorphismes de E. 2. Montrer que la boule unité ouverte est homéomorphe à E tout entier (considérer l’application x→ x1−||x|| ). 3. Montrer que deux boules ouvertes de (E, ||.||) sont homéomorphes entre elles. 4. Montrer que le seul sous-espace ouvert de E est E lui-même, et que tout sous-espace propre est d’intérieur vide dans E. 5. Montrer que l’adhérence d’un sous-espace vectoriel est encore un sous-espace vectoriel ; en déduire qu’un hyperplan de E est fermé ou partout dense dans E. 2 Notions de topologie II 12 Exercice 69 (extrait du partiel de décembre 98) Soit E un espace vectoriel normé sur C de boule unité fermée B et F un sous-espace vectoriel fermé de E. On va montrer que si F 6= E, sup x∈B d(x, F ) = 1. 1. Etablir les propriétés pour x, x′ ∈ E, y ∈ F, λ ∈ C : (i) d(x, F ) 6 ||x||. (ii) d(λx, F ) = |λ|d(x, F ). (iii) d(x− y, F ) = d(x, F ) (iv) d(x+ x′, F ) 6 d(x, F ) + d(x′, F ). 2. Soit x ∈ B tel que α = d(x, F ) > 0. Montrer que pour tout ε > 0 il existe y ∈ F tel que : α 6 ||x− y|| < α(1 + ε). 3. Montrer qu’il existe x′ ∈ B tel que : 11+ε = d(x ′, F ) < 1. 4. En déduire le résultat. Exercice 70 Peut-on construire dans R un ensemble infini, fermé, constitué uniquement d’irrationnels ? Exercice 71 Montrer que sur Rn, les distances d euclidienne, d∞ et d1 définissent la même topologie. Exercice 72 1. Dans R2, on considère U = R2\{(0, y) ∈ R2/y > 0}. Vérifier qu’il est ouvert et qu’il peut s’écrire comme une union dénombrable de fermés (un tel ensemble est dit de type Fσ). 2. Dans Rn, on considère le sous-ensemble des points à coordonnées entières, et le sous-ensemble des points à coordonnées rationnelles. Vérifier que le premier est fermé mais que le second n’est ni ouvert ni fermé. Exercice 73 Soit Mn(R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n, muni de la distance d(A,B) = maxi,j |ai,j− bi,j | où A = (ai,j) et B = (bi,j). 1. Montrer que l’ensemble des matrices inversibles est un ouvert dense de Mn(R). 2. Dans le cas n = 2, décider si les ensembles suivants sont ouverts, fermés, ni ouverts ni fermés : A = matrices ayant deux valeurs propres distinctes et > 0. B = matrices ayant deux valeurs propres > 0. Exercice 74 On note X l’espace des suites réelles x = (x(n)) et on le munit de la topologie dont les ouverts élémentaires sont V (x;n1, n2, · · ·nk; ε) = {y ∈ X/|x(ni)− y(ni)| < ε, i = 1 · · · k}. Vérifier qu’on a bien défini une base de topologie. Comparer la topologie qu’elle engendre sur l∞ et c0 avec la topologie métrique de l’exercice précédent. Exercice 75 Soit X un espace topologique. On considère les propriétés suivantes : (i) X contient un dénombrable dense. (ii) la topologie sur X possède une base dénombrable d’ouverts. Montrer que (ii) implique (i) et que la réciproque a lieu si X est métrisable. Un espace vérifiant (i) est dit séparable. Exercice 76 Soit X un espace métrique séparable (cf exercice 75), et A une partie quelconque de X. Montrer que A est encore séparable. 2.6 Comparaison de topologies et de métriques Exercice 77 On considère dans R les trois topologies T1, T2, T3, engendrées respectivement par les intervalles de la forme ]a, b[, [a, b[, [a, b], a et b décrivant R. Comparer les topologies, et décrire les fonctions continues de (R, T1) dans (R, T2) ; de (R, T1) dans (R, T3). Exercice 78 Soit T et T ′ deux topologies sur X. Montrer que T ′ est plus fine que T ssi (X, T ′) id→ (X, T ) est continue. Montrer qu’alors A T ′ ⊂ AT ; quelle inclusion a-t-on entre ◦ AT ′ et ◦ AT ? 3 Notions de topologie III 15 Exercice 99 Soit (εk) une suite à valeurs dans {−1, 1} et Sn = ∑n k=0 εk. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (Sn) est un intervalle de Z. Exercice 100 On considère une suite (xn) de [0, 1] telle que xn+1 − xn tend vers 0. 1. Montrer que l’ensemble A de ses valeurs d’adhérence est un intervalle fermé de [0, 1]. 2. On suppose de plus que cette suite est une suite récurrente i.e. définie par xn+1 = f(xn) où f est continue de [0, 1] dans lui-même, et un point initial x0 ∈ [0, 1]. Montrer alors que la suite converge (on commencera par remarquer que si x ∈ A, alors x = f(x), et que si xm ∈ A pour un indice m, alors la suite converge.) 3. Soit x = (xn) une suite de l∞ ; montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite y de terme général yn = x1+x2+···+xnn est un intervalle. En déduire que l’application f de l ∞ dans lui-même qui associe y à x, n’est pas bijective. 3 Notions de topologie III 3.1 Homéomorphisme Exercice 101 1. Montrer que Z et Q (munis de la topologie induite par celle de R) ne sont pas homéomorphes. On peut par ailleurs montrer que deux sous-ensembles dénombrables denses de R sont toujours homéomorphes. 2. Trouver un homéomorphisme de ]− 1, 1[ sur R ; de ]− 1, 1[ sur ]a, b[. 3. Montrer que si I est un intervalle ouvert de R, et c un point n’appartenant pas à I, les ensembles I et I ∪ {c} ne sont pas homéomorphes bien qu’en bijection. Exercice 102 Soit f une injection continue de R dans R. 1. Montrer à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires que f est strictement monotone. 2. Montrer que l’image par f d’un intervalle ouvert est encore un intervalle ouvert ; en déduire que f est ouverte et donc un homéomorphisme de R sur f(R). Exercice 103 Soit f une application de X dans Y séparé. Montrer que si f est continue, son graphe G est fermé dans X × Y , et l’application x→ (x, f(x)) est un homéomorphisme de X sur le graphe G de f . Montrer sur un exemple que la réciproque est fausse en général (mais vraie si Y est compact). Exercice 104 Montrer que le carré unité fermé et le disque fermé dans R2 sont homéomorphes. Exercice 105 Montrer que la boule unité ouverte de Rn est homéomorphe à Rn tout entier, et que deux boules ouvertes sont homéomorphes entre elles. Exercice 106 On note S1 le cercle unité dans R2, et h l’application de R dans S1 : t→ (cos 2πt, sin 2πt). 1. Montrer que le cercle privé d’un point, S1\{a}, est homéomorphe à l’intervalle ]0, 1[. 2. Montrer que h est une bijection continue de [0, 1[ sur S1, mais n’est pas un homéomorphisme. 3. Soit f une application continue de R dans S1\{a}, cette fois plongé dans C. Montrer que f admet un “logarithme continu”, c’est-à-dire qu’il existe g continue de R dans R telle que f = eig. Exercice 107 Soit F l’application de R+ dans C2 qui à x associe (exp(2iπx), exp(2iπx √ 2)) dont l’image est la courbe γ. 1. Montrer que F est continue injective. 2. Montrer que l’adhérence de γ dans C2 est S1 × S1. 3. Montrer que F−1 n’est continue en aucun point de γ. Exercice 108 (Projection stéréographique) Soit Sn−1 = {x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn/ ‖x‖2 = ∑n 1 x 2 i = 1}, la sphère unité de Rn, p son pôle nord i.e. le point p = (0, · · · , 0, 1), et A = Sn−1\{p}. 1. Montrer que le “plan” de l’équateur E est homéomorphe à Rn−1. 2. A tout point x de A on associe h(x) le point d’intersection de la droite issue de p passant par ce point, avec le plan E. Expliciter h, puis h−1 et montrer ainsi que la sphère est homéomorphe à Rn−1. (On établira h(x) = p+ x−p1−xn et h −1(y) = 2y1+‖y‖2 + p 1−‖y‖2 1+‖y‖2 ). 3. En déduire un homéomorphisme de S1 sur R. 3 Notions de topologie III 16 3.2 Dualité, isométrie Exercice 109 Soit E un evn, f un élément non nul du dual de E, et L l’hyperplan affine {x ∈ E/f(x) = 1}. 1. Montrer que inf x∈L ‖x‖ > 1 ‖f‖ . 2. On peut trouver dans la sphère unité une suite (xn) telle que |f(xn)| > nn+1‖f‖ (justifier) et, à l’aide de cette suite, montrer que l’on a finalement inf x∈L ‖x‖ = 1 ‖f‖ . Exercice 110 Soit E = C([0, 1]), µ(x) = ∫ 1 0 x(t) dt, µn(x) = 1n ∑n k=1 x( k n ). 1. Calculer ‖µ‖ et ‖µn‖. 2. Montrer que µn(x) converge vers µ(x) pour toute x dans E, mais que ‖µ− µn‖ = 2. Exercice 111 Soit E = C([0, 1]) et (tn) une suite de points distincts, convergente dans [0, 1]. Montrer que f définie par f(x) = ∑∞ 1 (−1)n 2n x(tn) est un élément de E ′ de norme 1 qui n’atteint sa norme en aucun point de la boule unité de E. Exercice 112 Soit a, b ∈ E evn, B1 = {x ∈ E/‖x − a‖ = ‖x − b‖ = 12‖a − b‖}, et pour n > 1, Bn = {x ∈ Bn−1/‖x− y‖ 6 12δ(Bn−1), ∀y ∈ Bn−1}, où δ(B) désigne le diamètre de l’ensemble B. 1. Montrer que δ(Bn) 6 12δ(Bn−1), et que ⋂ nBn = { a+b 2 }. 2. Soit f une isométrie de E sur F evn, telle que f(0) = 0. Montrer en considérant la suite (f(Bn)) que pour tous a, b ∈ E, f( a+ b 2 ) = f(a) + f(b) 2 . En déduire que f est une isométrie linéaire. Que peut-on dire plus généralement d’une isométrie f de E sur F . 3. On note l∞n l’espace Rn muni de la norme sup16i6n |xi|, et on considère l’application f : l∞n → l∞n+1 définie par f(x1, · · · , xn) = (x1, · · · , xn, sinx1). Vérifier que f est une isométrie non linéaire entre evn ; pourquoi n’a-t-on pas de contradiction avec ce qui précède ? Exercice 113 1. Soit (un) une suite de nombres complexes. On suppose que, pour toute suite bornée de complexes (vn), la série ∑ unvn converge. Montrer que (un) est dans l’espace l1. 2. Soit (un) une suite de nombres complexes. On suppose que, pour toute suite (vn) dans l2, la série ∑ unvn converge. Montrer que (un) est dans l’espace l2. Indication : Soit (an) une série positive divergente. Montrer que la série de terme général anSαn , où Sn =∑n k=0 ak converge si α > 1 et diverge sinon. Utiliser ensuite cette remarque pour conduire un raisonnement par l’absurde. Exercice 114 On va montrer que le dual de l2 est isométriquement isomorphe à l2. On note comme d’habitude en l’élément de l2 dans toutes les composantes sont nulles, sauf la n-ième qui vaut 1. 1. Soit x ∈ l2. Montrer que la suite d’éléments de l2 xn = ∑n 1 x(k)ek converge vers x dans l 2 (autrement dit, les suites nulles à partir d’un certain rang sont denses dans l2.) En déduire que si f ∈ (l2)′, f(x) =∑∞ 1 x(n)f(en). 2. Montrer que ‖f‖ > ( ∑n 1 |f(ek)|2) 1 2 , et que (f(en))n est un élément de l2. 3. Montrer alors que pour tout x ∈ l2, |f(x)| 6 ‖x‖2‖(f(en))‖2, et que ‖f‖ = ‖(f(en))‖2. En déduire que l’application f → (f(en)) est un isomorphisme isométrique du dual de l2 sur l2. Exercice 115 En suivant la même démarche que l’exercice 114, montrer que le dual topologique de c0 est isométriquement isomorphe à l1. 3 Notions de topologie III 17 3.3 Prolongement de fonctions Exercice 116 1. Montrer que si deux fonctions continues sur un espace topologique X cöıncident sur un ensemble dense dans X, elles sont égales. 2. Soit f une fonction réelle définie continue sur [−1, 1]. Montrer que si pour tout n, ∫ 1 −1 f(x) x n dx est nulle, alors f est nulle. (Indication : Considérer l’application g → ∫ 1 −1 f(x) g(x) dx.) Exercice 117 Soit F un fermé de R, et f une application continue de F dans R. Montrer que f se prolonge en une fonction continue sur R tout entier. Peut-on remplacer “fermé” par “ouvert” ? Exercice 118 Soit n→ rn une bijection de N sur Q ∩ [0, 1], et f la fonction définie sur Q ∩ [0, 1] par f(x) = ∑ rn<x 2−n. Montrer que f est continue, mais qu’elle ne peut être prolongée en aucune fonction continue sur [0, 1]. Exercice 119 Soit (X, d) un espace métrique ; on rappelle tout d’abord les propriétés de la fonction dA : x→ d(x,A) où A est une partie de X : 1. dA est 1-lipschitzienne, et dA(x) = 0 si et seulement si x ∈ A. On en déduit que tout fermé est un Gδ et que tout ouvert est un Fσ. 2. Montrer qu’un espace métrique possède une propriété forte de séparation, à savoir : deux fermés disjoints F1 et F2 peuvent être séparés par deux ouverts disjoints, en considérant {x/d(x, F1) > d(x, F2)}. 3. Montrer que la propriété précédente est équivalente à l’existence d’une fonction continue f valant 0 sur F1 et 1 sur F2. 4. Soit F1, F2,...,Fn, n fermés disjoints dans X, et c1, c2,...cn, n nombres réels. Montrer que la fonction f valant ci sur Fi peut se prolonger en une fonction continue à X tout entier. Exercice 120 Soit (X, d) un espace métrique, et Y un sous-espace non vide de X. On va montrer que toute fonction f : Y → R, k-lipschitzienne, admet un prolongement g : X → R qui est aussi k-lipschitzien. Soit donc f ainsi ; pour tout x ∈ X et y ∈ Y , on pose fy(x) = f(y) + kd(x, y). 1. Montrer que pour x fixé, l’ensemble {fy(x)} lorsque y parcourt Y est minoré. On pose g(x) = infy∈Y {fy(x)}. 2. Montrer que l’application g ainsi définie sur X, réalise un prolongement k-lipschitzien de f . 3. Donner une condition suffisante pour que ce prolongement soit unique. 3.4 Métrique de la convergence uniforme Exercice 121 On considère l’espace métrique E = C([0, 1]) muni de d∞, et pour f ∈ E, on note M(f) le maximum de f sur [0, 1]. Montrer que l’application f →M(f) est 1-lipschitzienne. Exercice 122 Soit (fn) une suite de polynômes qui converge uniformément sur [0, 1] vers une fonction qui n’est pas un polynôme. Montrer que la suite des degrés tend vers l’infini. Exercice 123 On considère la suite de polynômes sur [−1, 1] fn(x) = ∫ x 0 (1− t2)n dt∫ 1 0 (1− t2)n dt . 1. Montrer que pour tout ε, cette suite converge uniformément vers 1 sur l’intervalle [ε, 1], et vers −1 sur l’intervalle [−1,−ε]. Indication : Comparer ∫ 1 0 (1− t2)n dt à ∫ 1 0 (1− t)n dt. 2. En déduire que la suite gn(x) = ∫ x 0 fn(t) dt converge uniformément vers |x| sur [−1, 1]. 3. Montrer que dans l’exercice 96 la convergence est aussi uniforme sur [−1, 1], en établissant une relation de récurrence satisfaite par l’erreur εn(t) = |t| − pn(t). 4 Connexité 20 Exercice 146 Soit A et B des parties de X. On suppose B connexe et que B ∩ A et B ∩ {A sont non vides. Montrer que B coupe la frontière de A. Exercice 147 Notons T = {0} × [−1, 1] ∪ [−1, 1]× {0} muni de la topologie induite par celle de R2. 1. Montrer que T est compact et connexe et que f(T ) est un segment si f : T → R est une fonction continue. 2. Déterminer les points x ∈ T pour lesquels T \ {x} est connexe. 3. Montrer que T n’est homéomorphe à aucune partie de R. Exercice 148 1. Montrer qu’il existe une surjection continue de R sur S1 = {z ∈ C ; |z| = 1} et qu’il n’existe pas d’injection continue de S1 dans R. 2. Montrer qu’il n’existe pas d’injection continue de R2 dans R. Exercice 149 Dans R2, soit Ba l’ensemble {a}×]0, 1] si a est rationnel et Ba = {a}× [−1, 0] si a est irrationnel. Montrer que B = ⋃ a∈R Ba est une partie connexe de R2. [Exercice corrigé] Exercice 150 Soit I un intervalle ouvert de R et soit f : I → R une application dérivable. Notons A = {(x, y) ∈ I × I ; x < y}. 1. Montrer que A est une partie connexe de R2. 2. Pour (x, y) ∈ A, posons g(x, y) = f(y)−f(x)y−x . Montrer que g(A) ⊂ f ′(I) ⊂ g(A). 3. Montrer que f ′(I) est un intervalle. Ce résultat signifie que la dérivée de toute fonction dérivable possède la propriété de la valeur intermédiaire (un théorème de Darboux). Exercice 151 Soit X un espace métrique. Établir l’équivalence des assertions suivantes : 1. X est compact connexe. 2. Pour tout recouvrement ouvert (Ui)i∈I , il existe n ∈ N et i1, ..., in ∈ I tels que n⋃ k=1 Uik = X et Uik ∩ Uik+1 6= ∅ pour k = 1, ..., n− 1 . 4.2 Connexité par arcs Exercice 152 A et B sont des parties d’un espace topologique X. Vrai ou faux ? 1. Si A est connexe, ∂A est connexe ? 2. Si A est connexe, A est connexe ? 3. Si A et B sont connexes et A ∩B 6= ∅, A ∩B est connexe ? 4. Si X est un evn et A et B convexes avec A ∩B 6= ∅, A ∩B est connexe ? 5. Si A et B sont connexes, A ∪B est connexe ? 6. Soit f continue de X dans Y espace topologique. Si A est connexe par arcs , f(A) est connexe par arcs ? 7. Soit f continue de X dans Y evn. Si A est convexe, f(A) est convexe ? Exercice 153 Dans R2 on considère l’ensemble A des points dont une coordonnée au moins est irrationnelle. 1. Soit α ∈ R\Q ; décrire l’ensemble A ∩ {(x, y) ∈ R2, x = α}. 2. Montrer que A est connexe par arcs (plus précisément deux points de A peuvent être reliés par une ligne polygonale). Exercice 154 1. Montrer que dans Rn, n > 2, les sous-ensembles suivants sont connexes : B(0, r); Rn\B(0, r); Sn−1(0, r) = {x ∈ Rn / ||x|| = r}. 2. Montrer que R et R2 ne sont pas homéomorphes ( sinon enlever un point à R). 5 Compacité 21 Exercice 155 On rappelle que si X est réunion disjointe de parties non vides ωi ouvertes et connexes, les ωi sont les composantes connexes de X. Trouver les composantes connexes du complémentaire des ensembles suivants : {(x, y) ∈ R2/y2 − x = 0}; {(x, y, z) ∈ R3/0 < x2 + y2 + z2 6 1}; Sn−1 = {x ∈ Rn/||x|| = 1}; Q×Q ⊂ R2. Exercice 156 Soit H un sous-espace vectoriel de Rn, n > 2. Montrer que 1. si dim H = n− 1, Rn\H a deux composantes connexes ; 2. si dim H 6 n− 2, Rn\H est connexe. Exercice 157 On considère le sous-ensemble suivant du plan complexe : C = ∪n>1[0, 1 + i n ] ∪ [ 1 2 , 1] = A ∪ [ 1 2 , 1] 1. Montrer que C est connexe. Soit γ un chemin reliant un point de A à un point de [ 12 , 1] et d’image dans C. 2. Si γ ne passe pas par 0, montrer que γ(t) = r(t)eiθ(t) où r(t) > 0 et 0 6 θ(t) < π2 , et r, θ continues. 3. Montrer que θ ne prend qu’un nombre dénombrable de valeurs et aboutir à une contradiction. 4. Dans tous les cas, montrer qu’il existe t0 ∈]0, 1[ tel que γ(t) ne passe pas par 0 pour t > t0. En déduire que C n’est pas connexe par arcs. Exercice 158 Soit f une application continue de [a, b] dans R vérifiant f( x+ y 2 ) 6 1 2 ( f(x) + f(y) ) ∀x, y ∈ [a, b]. 1. On suppose f(a) = f(b) = 0. On considère E = {x ∈]a, b[ / f(x) = sup t∈[a,b] f(t)}. Montrer que E est ouvert et fermé dans ]a, b[. En déduire que f est < 0 ou identiquement nulle sur ]a, b[. 2. Montrer dans tous les cas que f est convexe ie f vérifie f((1− t)x+ ty) 6 (1− t)f(x) + tf(y) pour tous x, y ∈ [a, b] et t ∈ [0, 1] (On se ramènera au cas a) en considérant f privée de sa corde sur [a, b]). Exercice 159 Soit X un espace métrique et (Ai)i∈I une famille de parties connexes par arcs de X telle que⋂ i∈I Ai 6= ∅. Montrer que ⋃ i∈I Ai est connexe par arcs Exercice 160 Dans R2 on considère l’ensemble A = {(x, sin( 1x )) ; x > 0}. 1. Montrer que A est une partie connexe et connexe par arcs de R2. 2. Déterminer A et justifier que A est connexe. 3. Montrer que A n’est pas connexe par arcs. 5 Compacité 5.1 Espaces topologiques compacts Exercice 161 1. Soit X un espace topologique séparé. Montrer qu’il est compact et discret si et seulement si il est fini. 2. Montrer que dans un espace topologique séparé, l’ensemble constitué d’une suite convergente et de sa limite est compact. Exercice 162 Soit X un espace topologique compact et f1, f2, . . . , fn, n fonctions continues réelles qui séparent les points de X. Montrer que X est homéomorphe à une partie de Rn. Exercice 163 Soit X,Y deux espaces topologiques séparés et (Kn) une suite décroissante de compacts non vides de X. Soit f : X → Y une application continue. Montrer que f(∩nKn) = ∩nf(Kn). Exercice 164 Soit X un espace topologique séparé et A et B deux compacts disjoints dans X. Montrer qu’ils possèdent des voisinages ouverts disjoints. (Commencer par le cas où B est réduit à un point). 5 Compacité 22 Exercice 165 Soit (fn) une suite croissante de fonctions réelles définies sur un espace topologique compact X, convergeant simplement vers une fonction f ; on suppose que les fonctions fn et f sont continues. Montrer que la convergence est uniforme sur X. Application : montrer que la suite de fonctions fn définies sur [0, 1] par fn(x) = ∑n−1 1 x k(1 − x)n−k converge vers 0 uniformément sur [0, 1]. Exercice 166 Soit X un espace topologique compact et C(X) l’espace des fonctions réelles continues sur X avec la norme uniforme. Soit J un idéal propre de C(X) ; on va montrer par l’absurde que toutes les fonctions de J s’annulent en un même point de X. 1. Sinon, montrer qu’on peut trouver n points de X, x1, · · · , xn, V1, · · · , Vn où Vi voisinage de xi et n fonctions de J , f1, · · · , fn tels que X = ∪i Vi, fi|Vi 6= 0. 2. Construire alors une fonction g dans J ne s’annulant jamais et en déduire que 1 ∈ J , d’où la contradiction. Exercice 167 Soit X un espace topologique séparé. 1. Soit A et B deux compacts disjoints dans X. Montrer qu’ils possèdent des voisinages ouverts disjoints (commencer par le cas où B est réduit à un point). 2. Soit K un compact non vide de X et U un ouvert de X contenant K. Montrer qu’il existe r > 0 tel que pour tout x ∈ X, on ait l’implication : d(x,K) < r ⇒ x ∈ U . Exercice 168 Montrer qu’une suite convergente et sa limite forment un ensemble compact. Exercice 169 Soient K,F ⊂ Rn des parties non vides, K compact et F fermé. Montrer qu’il existe a ∈ K et b ∈ F tel que ‖a− b‖ = dist(K,F ). Exercice 170 Soit E un espace compact et soit (F, d) un espace métrique. Soit f : E → F une application localement bornée, ce qui signifie que, pour tout y ∈ E, il existe un voisinage Vy de y sur lequel f est bornée. Montrer que f est bornée sur E. Exercice 171 Soit X un espace topologique séparé. 1. Soit (Fn)n une suite décroissante de fermés de X et soit (xn)n une suite convergente telle que xn ∈ Fn pour tout n > 0. Montrer que lim n→∞ xn ∈ ⋂ n>0 Fn . Donner un exemple pour lequel ⋂ n>0 Fn = ∅. 2. Soit maintenant (Kn)n une suite décroissante de compacts non vides de X. Vérifier que K = ⋂ n>0Kn est non vide et que tout ouvert Ω qui contient K contient tous les Kn à partir d’un certain rang. Exercice 172 Soit X un espace topologique et f : X × [0, 1] → R continue. Montrer que l’application g : x ∈ X → ∫ 1 0 f(x, y) dy est continue. Exercice 173 Soit X un espace topologique et f : X × [0, 1] → R continue. Montrer que l’application g : x ∈ X → ∫ 1 0 f(x, y) dy est continue. Exercice 174 Soit X = [a, b] et on se donne une métrique d sur X telle que la topologie définie par d est moins fine sur X que la topologie usuelle. Montrer que tout sous-ensemble de X compact pour la topologie usuelle est aussi compact pour la topologie définie par d ; puis montrer cette propriété pour les fermés. En déduire que la topologie définie par d est la topologie usuelle. Exercice 175 Soit X un espace topologique séparé et (Kn) une suite décroissante de compacts non vides de X. Montrer que K = ∩Kn est non vide et que si Ω est un ouvert contenant K, il contient tous les Kn à partir d’un certain rang. Exercice 176 Soit f et g deux fonctions réelles continues sur un espace topologique compact X, telles que f > 0, et f(x) > 0 si g(x) 6 0. Montrer qu’il existe une constante A > 0 telle que Af(x) + g(x) > 0, ∀x ∈ X. (Indication : raisonner par l’absurde, et considérer les ensembles An = {x ∈ X/nf(x) + g(x) 6 0}). 5 Compacité 25 2. X + Y est compact si X et Y sont compacts ; 3. X + Y est fermé si X est compact et Y fermé. Que peut-on dire de X + Y si X et Y sont seulement fermés ? Exercice 198 Soit E un espace normé, X et Y deux parties compactes de E. Montrer que la réunion des segments joignant un point x ∈ X à un point y ∈ Y est encore compacte. Exercice 199 Soit K un convexe compact symétrique de Rn contenant 0 comme point intérieur. Alors K est la boule unité fermée associée à une norme de Rn : considérer pour cela p(x) = inf{t > 0/x t ∈ K} Exercice 200 Trouver l’ensemble des valeurs d’adhérence quand x→ 0 de f(x) = sin 1x ; g(x) = 1 x sin 1 x . Exercice 201 1. Soit X un espace métrique compact et (fn) une suite d’applications continues à valeurs dans un espace métrique Y , convergeant vers f uniformément sur X. Montrer que si (xn) est une suite de points de X convergeant vers x ∈ X, alors fn(xn) tend vers f(x). 2. Application : Soit X un espace métrique compact, et soit (fn) une suite d’applications de X dans X, ayant chacune un point fixe ; on suppose que la suite (fn) converge vers une fonction f uniformément sur X. Montrer que f a aussi un point fixe. 3. Soit K un convexe compact de Rn et f une application continue de K dans K vérifiant ‖f(x)− f(y)‖ 6 ‖x− y‖; En considérant les fonctions fn définies sur K par fn(x) = 1nf(x0)+ (1− 1 n )f(x), où x0 ∈ K, montrer que f a un point fixe. Est-il unique ? Que se passe-t-il si K n’est plus convexe ? Exercice 202 Soit A une partie d’un espace normé E. On note co(A), l’enveloppe convexe de A ie l’ensemble { ∑ finie λjaj , λj > 0, ∑ λj = 1} des combinaisons convexes de points de A. 1. Montrer que si A est fini, co(A) est compacte. 2. Montrer que si E est de dimension finie et A compact, co(A) est compacte. Exercice 203 Soit E = Cb(R) muni de la norme uniforme ; pour f ∈ E, on note fa la translatée de f par a, ie la fonction x→ f(x− a), et Of l’ensemble des translatées de f . 1. Montrer que si f est périodique, Of est compact (considérer l’application a→ fa). 2. Soit f une limite uniforme sur R de fonctions périodiques ; montrer que Of est précompact. 3. On suppose cette fois Of précompact ; on va montrer que f est uniformément continue. (a) De toute suite (fan) de Of on peut extraire une sous-suite convergente dans E. (b) Si xn − yn tend vers 0, montrer que (fxn−yn) n’a qu’une valeur d’adhérence f ; en déduire que f(xn)− f(yn) tend vers 0. (c) Montrer que f est uniformément continue. Exercice 204 Soit E l’ensemble des suites infinies de nombres réels x = (x1, x2, · · · ) à valeurs 0 ou 1. Si x et y sont deux éléments de E, on pose d(x, y) = sup k>1 ( 1 k |xk − yk|) 1. Montrer que d est une distance sur E. 2. Soit ε > 0 ; montrer qu’il existe une partie finie Eε de E qui possède la propriété suivante : les boules fermées de rayon ε centrées en un point de Eε recouvrent E. 3. Montrer que E est compact. Exercice 205 Soit K un convexe compact de R2. 1. Si K est d’intérieur vide, montrer que K est homéomorphe au segment [0, 1]. 2. Si K n’est pas d’intérieur vide, montrer que K est homéomorphe au disque unité fermé en considérant l’application p(x) = inf{a > 0 ; xa ∈ K} ; on montrera que 0 est un point intérieur, que δ||x|| 6 p(x) 6 C||x|| puis que p est continue. 5 Compacité 26 Exercice 206 Soit (An) une suite décroissante de compacts connexes non vides dans un espace topologique séparé. Montrer que ∩nAn est encore un compact connexe non vide. (Pour la connexité on pourra raisonner avec de fermés et utiliser l’exercice 164.) Exercice 207 Soit E un espace normé. Si A et B sont deux parties de E, on note A+B l’ensemble {a+b ; a ∈ A et b ∈ B}. 1. Montrer que si A est compact et B est fermé, alors A+B est fermé. 2. Donner un exemple de deux fermés de R2 dont la somme n’est pas fermé. Exercice 208 Soit f : Rn → Rn une application continue. Elle est dite propre si pour tout compact K ⊂ Rn, l’image réciproque f−1(K) est compact. 1. Montrer que, si f est propre, alors l’image par f de tout fermé de Rn est un fermé. 2. Établir l’équivalence suivante : l’application f est propre si et seulement si elle a la propriété : ‖f(x)‖ → ∞ quand ‖x‖ → ∞ . Exercice 209 Soit E = {f : [0, 1] → R continue}. On munit E de la métrique d∞(f, g) = supt∈[0,1] |f(t)−g(t)|. Montrer que la boule unité fermée de E n’est pas compact (on pourra construire une suite dont aucune sous suite n’est de Cauchy). Que peut-on dire de la boule unité fermée de l∞ (l’espace des suites bornées muni de la norme sup) ? Exercice 210 Soit (X, d) un espace métrique, soit (Y, δ) un espace métrique compact et soit f : X → Y une application dont le graphe G = {(x, f(x)) x ∈ X} ⊂ X × Y est fermé dans X × Y . Notons p : G → X et q : G → Y les restrictions des deux projections p(x, y) = x et q(x, y) = y. Montrer que p est un homéomorphisme de G sur X. En déduire que f est continue. Exercice 211 Soit (X, d) un espace métrique compact et f : X → X une application vérifiant d(f(x), f(y)) < d(x, y) pour tout x, y ∈ X ,x 6= y . Le but ici est de montrer que f a un unique point fixe p ∈ X. 1. Justifier que f peut avoir au plus un point fixe. 2. Montrer que les ensembles Xn = fn(X), n ∈ N, forment une suite décroissante de compacts et que Y = ⋂ n>0Xn n’est pas vide. 3. Montrer que Y est un ensemble invariant, i.e. f(Y ) = Y , et en déduire que le diamètre de cet ensemble est zero. 4. Conclure que f a un unique point fixe p ∈ X et que pour tout x0 ∈ X la suite xn = fn(x0) → p, lorsque n→∞. Exercice 212 Soient (E, d) un espace métrique compact et f : E → E une application vérifiant d(f(x), f(y)) > d(x, y) pour tout x, y ∈ E . On se propose de montrer que f est une isométrie surjective. Soient a, b ∈ E et posons, pour n > 1, an = fn(a) = f ◦ fn−1(a) et bn = fn(b). 1. Montrer que pour tout ε > 0, il existe k > 1 tel que d(a, ak) < ε et d(b, bk) < ε (Considérer une valeur d’adhérence de la suite zn = (an, bn)). 2. En déduire que f(E) est dense dans E et que d(f(a), f(b)) = d(a, b) (Considérer la suite un = d(an, bn)). Exercice 213 On se donne une métrique d sur X = [0, 1] telle que l’identité i : (X, |.|) → (X, d) soit continue (i.e. la topologie définie par d est moins fine que la topologie usuelle de X). 1. Montrer que tout sous-ensemble deX compact pour la topologie usuelle est aussi compact pour la topologie définie par d ; puis montrer cette propriété pour les fermés. 2. En déduire que la topologie définie par d est la topologie usuelle. 6 Applications linéaires bornées 27 Deuxième partie Analyse réelle 6 Applications linéaires bornées 6.1 Applications linéaires Exercice 214 Soient E1, E2 et F des espaces normés sur R et soit B : E1×E2 → F une application bilinéaire continue. Montrer que B est continue si et seulement s’il existe M > 0 tel que ‖B(x)‖ 6 M‖x1‖‖x2‖ pour tout x = (x1, x2) ∈ E1 × E2 . Exercice 215 Soient E et F deux espaces normés et L : E → F une application linéaire vérifiant : (L(xn))n est bornée dans F pour toute suite (xn)n de E tendant vers 0 ∈ E. Montrer que L est continue. Exercice 216 Soient E et F deux espaces normés réels et f : E → F une application bornée sur la boule unité de E et vérifiant f(x+ y) = f(x) + f(y) pour tout x, y ∈ E . Montrer que f est linéaire continue. Exercice 217 Calculer la norme des opérateurs suivants : – Le shift sur l∞ défini par S(x)n+1 = xn, S(x)0 = 0. – X = C([0, 1]) et Tf(x) = f(x)g(x) où g ∈ X. Calculer la norme des formes linéaires suivantes : – X = C([0, 1]) et u(f) = ∫ 1 0 f(x)g(x) dx où g ∈ X est une fonction qui s’annule qu’en x = 1/2. – X = l2 et u(x) = ∑ anxn où (an) est dans X. – X = l1 et u(x) = ∑ anxn où (an) est dans l∞. – X l’espace des suites convergentes muni de la norme sup et u : X → R l’application u(x) = limj→∞ xj . Exercice 218 Soit l∞ l’espace des suites réelles muni avec la norme uniforme, i.e. ‖x‖∞ = supn |xn|. On considére l’application A : l∞ → l∞ définie par A(x1, x2, ..., xn, ...) = (x1, x2/2, ..., xn/n, ...) . Montrer que 1. A est injective et continue avec ‖A‖ = 1. Par contre, A n’est pas surjective. 2. L’application réciproque A−1 n’est pas continue. Exercice 219 Soit X un espace normé, L : X → R une forme linéaire non nulle et H = L−1({0}) son noyau. 1. Montrer que, si L est continue, alors H est un sous-espace fermé dans X. Établir la relation dist(a,H) = |L(a)| ‖L‖ pour tout a ∈ X . 2. Réciproquement, supposons que le noyau H est un fermé. Démontrer alors que dist(a,H) > 0 dès que a ∈ X \H et en déduire que L est continue de norme au plus |L(a)|/dist(a,H). 3. Peut-on généraliser ceci a des applications linéaires entre espaces normés ? Exercice 220 Soit X = C([0, 1]) avec la norme ‖f‖ = ∫ 1 0 |f(t)| dt. Montrer que la forme linéaire f ∈ X 7→ f(0) ∈ R n’est pas continue. Que peut-on en déduire pour le sous-espace des fonctions de X nulles en 0 ? Exercice 221 Soit X = {f ∈ C(R) ; (1+x2)|f(x)| soit bornée}. On pose N(f) = supx∈R(1+x2)|f(x)|. Vérifier que N est une norme, puis montrer que la forme linéaire suivante L est continue et calculer sa norme : L : E → R définie par L(f) = ∫ R f(x) dx . Exercice 222 Soit X = R[x] l’ensemble des polynômes. Pour P (x) = ∑p k=0 akx k on pose ‖P‖ = supk |ak|, U(P )(x) = ∑n k=1 1 kakx k et V (P )(x) = ∑n k=1 kakx k. 7 Espaces métriques complets, Banach 30 2. Considérons maintenant, pour f ∈ X, la norme N(f) = sup t∈[a,b] ‖f(t)‖+ sup t∈[a,b] ‖f ′(t)‖ . L’espace (X,N) est-il complet ? Exercice 242 Soit X l’espace des suites réelles nulles à partir d’un certain rang, et soit ρ(x, y) = ∞∑ k=1 2−k |xk − yk| 1 + |xk − yk| pour x, y ∈ X . 1. Montrer que X n’est pas complet pour la métrique ρ. 2. Trouver un espace de suites Y tel que (Y, ρ) soit complet et tel que X soit dense dans Y . 3. Que donne l’exercice si on remplace ρ par la norme uniforme ? Exercice 243 Soit E un espace vectoriel normé. On dit qu’une série ∑ uk est normalement convergente si la série ∑ ‖uk‖ est convergente. On veut démontrer que E est complet si et seulement si toute série normalement convergente est convergente. 1. Soit (xn) une suite de Cauchy de E ; montrer qu’on peut en extraire une sous-suite (xnk) telle que la série de terme général uk = xnk+1 − xnk soit normalement convergente. En déduire que si toute série normalement convergente est convergente, alors E est complet. 2. Soit ∑ uk une série normalement convergente. On note Sn = ∑n k=0 uk. Montrer que Sn est une suite de Cauchy. En déduire que si E est complet, alors toute suite normalement convergente est convergente. Exercice 244 Soit (X, d) un espace métrique, et (xn) une suite de Cauchy dans X. Vérifier : 1. La suite (xn) est bornée même si la métrique est non bornée, mais il existe des suites bornées dont aucune sous-suite n’est de Cauchy. 2. Si (xn) contient une sous-suite convergente, elle est convergente. 3. Soit (εk) une suite quelconque de réels > 0 ; il existe une sous-suite (xnk) de (xn) telle que d(xnk , xnk+1) 6 εk. 4. Soit (yn) une suite quelconque de X. Si ∑∞ 1 d(yn, yn+1) <∞, la suite (yn) est de Cauchy. Réciproque ? 5. On suppose cette fois la distance d ultramétrique. Dans ce cas (yn) est de Cauchy si et seulement si d(yn, yn+1) tend vers 0. Exercice 245 Vérifier que R est un espace métrique complet pour la distance d(x, y) = | arctanx− arctan y|. Exercice 246 Sur l’ensemble N des entiers naturels, définissons d(n,m) = 0 pour m = n = 1 + 1 n+m pour m 6= n 1. Montrer que d est une métrique sur N pour laquelle il est complet. 2. Construire dans (N, d) une suite de boules fermées non vides embôıtées dont les rayons ne tendent pas vers 0, et d’intersection vide. Exercice 247 Soit U un ouvert d’un espace complet (X, d) ; on note F = U c et f(x, y) = | 1d(x,F ) − 1 d(y,F ) | pour x, y ∈ U . Montrer que δ(x, y) = max(d(x, y), f(x, y)) définit une distance sur U équivalente (topologiquement) à d et que (U, δ) est complet. Exercice 248 Soit X un espace métrique et (an) une suite de Cauchy dans X. 1. Montrer que pour tout x ∈ X, la suite de réels (d(an, x)) a une limite. On note f(x) cette limite ; montrer que l’application x→ f(x) est continue de X dans R. 2. Calculer infx∈X f(x). Quand cette borne inférieure est-elle atteinte ? 3. Déduire de ce qui précède que si X n’est pas complet, il existe une application φ : X → R continue et non bornée. 7 Espaces métriques complets, Banach 31 Exercice 249 On considère pour f et g dans E = C(R, C), d(f, g) = ∑ n 1 2n min(1, sup |x|6n |f(x)− g(x)|). Vérifier que d est une métrique sur E pour laquelle il est complet. Montrer que la convergence pour d n’est autre que la convergence uniforme sur tout compact de R. Exercice 250 Soit (X, d) un espace métrique et Y une partie de X ; on considère f une application surjective de X sur Y , et on pose pour u et v dans Y D(u, v) = d(f−1({u}), f−1({v})) = inf x∈f−1({u}),y∈f−1({v}) d(x, y). 1. Montrer que pour u et v dans Y , D(u, v) > 0 ; que D(u, u) = 0 et D(u, v) = D(v, u) ; D vérifie-t-elle l’inégalité triangulaire ? 2. On suppose que pour u dans Y , f−1({u}) est un fermé de Y , et que pour u et v dans Y d(x, f−1({v})) = d(x′, f−1({v})) pour tous x et x′ dans f−1({u}). Montrer alors que D est une distance. 3. On suppose les conditions de 2. vérifiées. Montrer que Y est complet si X est complet. 7.2 Espaces normés, Banach Exercice 251 Soient E,F des espaces normés et An, A ∈ L(E,F ). Montrer l’équivalence entre : 1. An → A dans L(E,F ). 2. Pour toute partie bornée M ⊂ E, la suite Anx converge uniformément vers Ax, x ∈M . Exercice 252 (Cours) Soit E un espace normé et F un espace de Banach. Alors L(E,F ) est aussi un espace de Banach. Exercice 253 On considère sur C1([0, 1],R) les normes suivantes : 1. ‖f‖ = sup[0,1] |f(x)| 2. ‖f‖ = sup[0,1] |f ′(x)|+ |f(0)| 3. ‖f‖ = sup[0,1] |f ′(x) + f(x)|+ |f(0)| Lesquelles sont complètes sur C1([0, 1],R) ? Exercice 254 Soit (B, ‖.‖) un espace de Banach et M , N deux sous-espaces de B tels que B = M ⊕ N . On met sur B une nouvelle norme ‖z‖′ = ‖x‖+ ‖y‖ si z = x+ y. 1. Vérifier que ‖.‖′ est bien une norme sur B et que (B, ‖.‖′) est complet si et seulement si M et N sont fermés. 2. Montrer que si les projections PM et PN sur M et N sont continues, (B, ‖.‖′) est encore un Banach. Exercice 255 On considère E = c, l’espace des suites réelles convergentes ; montrer que, muni de la norme uniforme, E est complet et décrire son dual topologique. Exercice 256 On considère E l’espace des séries convergentes, et on pose ‖ξ‖ = sup n | n∑ k=1 ξk| 1. Vérifier que ceci définit une norme sur E pour laquelle il est complet. 2. L’espace l1 des séries absolument convergentes est un sous-espace de E ; montrer que les normes ‖.‖ et ‖.‖1 ne sont pas équivalentes sur l1 (en considérant une série de terme général ξk = (−1) k kα .) 3. Montrer que l1 est dense dans (E, ‖.‖). Exercice 257 Pour tout k > 0 on note Hk le sous-espace de C([0, 1]) constitué des fonctions lipschitziennes de constante k ie des fonctions f vérifiant |f(x) − f(y)| 6 k|x − y| pour tous x et y dans [0, 1]. On pose aussi H = ⋃ k>0Hk. 8 Théorème du point fixe 32 1. Montrer que H contient les fonctions de classe C1 sur [0, 1], mais que la fonction √ x n’est pas dans H. 2. Montrer que pour tout k, Hk est un espace de Banach pour la norme uniforme. 3. Montrer qu’il existe une suite de fonction de H qui converge uniformément sur [0, 1] vers √ x. En déduire que H n’est pas complet pour la norme uniforme. 4. Montrer que si on pose ‖f‖ = sup x6=y |f(x)− f(y)| |x− y| + |f(0)|, on définit ainsi une norme sur l’espace E, pour laquelle l’espace est complet. Exercice 258 Soit E un espace de Banach, A ∈ L(E), et s, t ∈ R. 1. On rappelle que etA = ∑∞ 0 tnAn n! ∈ L(E). Montrer que ‖e tA‖ 6 e|t|‖A‖ et que e(t+s)A = etAesA. 2. Soit u0 ∈ E et u la fonction vectorielle de variable réelle définie par u(t) = etAu0. Montrer que u est dérivable sur R et calculer sa dérivée. Exercice 259 Soit E un espace de Banach et F un sous-espace fermé de E. 1. Montrer que N(x̄) = infy∈F ‖x+ y‖ = d(x, F ) définit une norme sur l’espace vectoriel quotient E/F . 2. Montrer à l’aide du critère sur les séries que E/F muni de N est un espace de Banach. 8 Théorème du point fixe Exercice 260 1. Soit X un espace métrique et (fn) une suite d’applications continues à valeurs dans un espace métrique Y , convergeant vers f uniformément sur X. Montrer que si (xn) est une suite de points de X convergeant vers x ∈ X, alors fn(xn) tend vers f(x). 2. Application : Soit X un espace métrique compact, et soit (fn) une suite d’applications continues de X dans X, ayant chacune un point fixe ; on suppose que la suite (fn) converge vers une fonction f uniformément sur X. Montrer que f a aussi un point fixe. 3. Soit K un convexe compact de Rn et f une application continue de K dans K vérifiant ‖f(x)− f(y)‖ 6 ‖x− y‖; En considérant les fonctions fn définies sur K par fn(x) = 1nf(x0)+ (1− 1 n )f(x), où x0 ∈ K, montrer que f a un point fixe. Est-il unique ? Que se passe-t-il si K n’est plus convexe ? Exercice 261 Soit E un espace métrique compact, f une application continue de E dans E et on note Ω l’ensemble de ses points fixes. 1. Montrer que Ω est un compact, qui est non vide dans le cas où E = [a, b]. 2. Si Ω = ∅, montrer qu’il existe r > 0 tel que d(x, f(x)) > r pour tout x ∈ E. 3. On suppose que d(f(x), f(y)) < d(x, y) pour tous x 6= y de E. Montrer que Ω est réduit à un point a et que pour tout choix initial de x0 ∈ E, la suite récurrente xn+1 = f(xn) converge vers a. Exercice 262 Pour x, y ∈ X =]0,+∞[ on pose δ(x, y) = | log x− log y| 1. Montrer que X muni de δ est complet alors qu’il ne l’est pas pour la métrique usuelle de R. 2. Soit f une application de classe C1 de X dans X vérifiant pour tout x ∈ X x|f ′(x)| 6 kf(x) où k est un réel de ]0, 1[ fixé. Montrer que f a un seul point fixe dans X. Exercice 263 1. On considère une matrice A = (aij) à coefficients réels telle que ∑n i,j=1 a 2 ij < 1. En utilisant le théorème du point fixe, montrer que quels que soient les réels b1, b2, · · · bn, le système d’équations linéaires xi − n∑ j=1 aijxj = bi, 1 6 i 6 n admet toujours une solution unique. En déduire det(I −A) 6= 0. 9 Applications uniformément continues 35 2. Parmi les fonctions de variable réelle suivantes, lesquelles sont uniformément continues : sin(x2), x sinx, sin 1x , x 6= 0 ? Exercice 275 Soit f une fonction continue de ]0, 1[ dans R. Montrer que, si f est uniformément continue, elle est bornée. Réciproque ? Exercice 276 Soit f une fonction uniformément continue sur R telle que ∫∞ 0 f(t)dt converge. Montrer que f tend vers 0 quand x→ +∞. Retrouver ainsi le fait que la fonction sin(x2) n’est pas uniformément continue. Exercice 277 Soit E = Cb(R) muni de la norme uniforme ; pour f ∈ E, on note fa la translatée de f par a, ie la fonction x → f(x − a), et Of l’ensemble des translatées de f . Soit f une fonction continue périodique de R dans R ; 1. Montrer que f est uniformément continue sur R. 2. Montrer que Of est compact et connexe (considérer l’application a→ fa). Exercice 278 Soit (fn) une suite d’applications croissantes de [0, 1] dans R, qui converge simplement vers une fonction f continue. Montrer que la convergence est uniforme sur [0, 1]. Indication : ε > 0 étant fixé, montrer qu’il existe 0 = x0 < x1 < · · · < xk = 1 tels que f(xj+1) − f(xj) 6 ε, 1 6 j 6 k − 1 et établir |f(x)− fn(x)| 6 supj |fn(xj)− f(xj)|+ ε. Exercice 279 Parmi les métriques suivantes définies sur R, lesquelles sont uniformément équivalentes à la métrique usuelle ? 1. |x3 − y3| 2. | arctanx− arctan y| 3. |x−y|1+|x−y| Exercice 280 Soit d1 et d2 deux distances sur un espace X. On considère les quatre assertions suivantes : (i) Les métriques sont topologiquement équivalentes. (ii) Les métriques sont uniformément équivalentes. (iii) Les métriques sont Lipschitz-équivalentes (il existe A et B constantes telles que Ad1 6 d2 6 B d1). (iv) (X, d1) et (X, d2) sont simultanément complets. Etablir les implications entre ces propriétés et donner des contre-exemples lorsque les implications n’ont pas lieu. Exercice 281 Soit d1 et d2 deux distances sur un espace X. Montrer qu’elles sont uniformément équivalentes si et seulement si (X, d1) et (X, d2) ont les mêmes applications réelles uniformément continues. Indication : Raisonner par contraposition et considérer pour (xn) et (yn) vérifiant lim d1(xn, yn) = 0 et d2(xn, yn) > ε, A = {x1, x2, ...}, B = {y1, y2, ...} dans (X, d2), et f(x) = d2(x,A) d2(x,A) + d2(x,B) Exercice 282 Soit δ la métrique sur R définie par δ(x, y) = | x1+|x| − y 1+|y| |. Montrer, à l’aide du théorème de prolongement de fonction uniformément continue, que l’identité i : (R, δ) → (R, |.|) n’est pas uniformément continue. Exercice 283 Soit (fn) une suite de fonctions réelles convergeant uniformément vers f sur R et soit g une fonction uniformément continue sur R. Montrer que la suite (g ◦ fn) converge uniformément vers g ◦ f sur R. Exercice 284 Soit X un espace métrique. 1. Montrer que si X n’est pas complet, il existe une suite de Cauchy (an), non convergente, et telle que ap 6= aq pour p 6= q. 2. Soit (bn) une suite de Cauchy non convergente ; montrer que l’ensemble B = {bn, n ∈ N} est fermé dans X. 3. Déduire des questions précédentes que si X n’est pas complet, on peut trouver une fonction continue f : X → [0, 1] qui n’est pas uniformément continue. Indication : Si (an) est définie par 1., construire f : X → [0, 1] telle que f(a2n) = 0 et f(a2n+1) = 1. 9 Applications uniformément continues 36 Exercice 285 Soit f une application bijective d’espaces métriques f : X → Y uniformément continue et d’inverse continue. Montrer que si Y est complet, X l’est aussi. Exercice 286 Soit (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques ; soit f une application surjective de X sur Y telle que δ(f(x), f(x′)) = d(x, x′) pour tous x, x′ dans X. Vérifier que f est un homéomorphisme uniformément continu ainsi que f−1. Donner des exemples sur Rn et décrire les isométries de R. Exercice 287 On considère l1 et l2 les espaces de suites réelles absolument et de carré sommables, et l’applica- tion F (non linéaire) de l1 dans l2 définie par F (a) = b si a = (an), b = (bn) avec bn = sign (an) √ |an|. Vérifier que F est un homéomorphisme de l1 sur l2, uniformément continu mais d’inverse non uniformément continu. 9.2 Équicontinuité, théorème d’Ascoli Exercice 288 1. Soit k > 0 et F l’ensemble des fonctions différentiables f : [a, b] → R telles que |f ′(t)| 6 k pour tout t ∈]a, b[. Montrer que F est une famille équicontinue. 2. Si L > 0 et fn : Rn → Rn est une suite d’applications L-lipschitziennes avec ‖fn(0)‖ = √ 2, alors montrer que l’on peut extraire une sous-suite convergente de (fn). Exercice 289 Soient E,F des espaces normés et (fn) une suite d’applications de E dans F équicontinue en a ∈ E. Montrer que, si la suite (fn(a)) converge vers b, alors (fn(xn)) converge également vers b, si (xn) est une suite de E telle que limn→∞ xn = a. L’équicontinuité est-elle nécessaire ici ? Exercice 290 Soient E,F des espaces normés et (fn) une suite d’applications équicontinues de E dans F . Montrer que l’ensemble des x ∈ E, pour lesquels (fn(x)) est une suite de Cauchy dans F , est un fermé. Exercice 291 Soient (E, d) un espace métrique et H une famille équicontinue d’applications de E dans R. Établir : 1. L’ensemble A des x ∈ E pour lesquels H(x) est borné est ouvert et fermé. 2. Si E est compact et connexe et si H(x0) est borné pour un point quelconque x0 ∈ E, alors H est relativement compact dans C(E,R). Exercice 292 On considère la suite de fonctions fn(t) = sin( √ t+ 4(nπ)2), t ∈ [0,∞[. 1. Montrer qu’il s’agit d’une suite de fonctions équicontinues convergent simplement vers f ≡ 0. 2. La suite (fn) est elle relativement compacte dans (C([0,∞[), ‖.‖∞) ? Que dit le théorème d’Ascoli ? Exercice 293 Soit K : C([a, b]) → C([a, b]) donné par (Kf)(s) = ∫ b a k(s, t)f(t) dt, k ∈ C([a, b] × [a, b]), et soit (fn) une suite bornée de X = (C([a, b]), ‖.‖∞). 1. Rappeler pourquoi k est uniformément continue. 2. En déduire l’équicontinuité de (Kfn). 3. Montrer que (Kfn) contient une sous-suite convergente dans X. Exercice 294 Soit X = [0, 1], Y = [−1, 1], fn(x) = 1n sin(n 2x) ; on note A le sous-ensemble de C(X,Y ) constitué des (fn), n > 1. 1. Montrer sans calculs que A est équicontinu. 2. Montrer que l’on a plus précisément |fn(x) − fn(y)| 6 √ 2|x − y| 12 pour tous n, x, y. En déduire que le module d’équicontinuité de A est > ε2/2. Exercice 295 Pour quelles valeurs de α > 0, la fonction f(x) = cosxα est -elle uniformément continue ? On suppose cette condition remplie et on définit fn par fn(x) = f(x + n). Montrer que l’on peut extraire de (fn) une suite convergeant uniformément sur tout compact de R+. Peut-on avoir convergence uniforme sur tout R+ ? Exercice 296 Soit H = {f ∈ C1(R) / ∫ R |f(x)| 2dx+ ∫ R |f ′(x)|2dx 6 1}. 1. Montrer que si f ∈ H, lim|x|→∞ f(x) = 0. 2. Montrer que ||f ||∞ 6 1√2 , pout toute f ∈ H. 3. Montrer que H est une partie équicontinue et bornée de C0(R). 4. Soit ϕ(x) = (x2−1)2 1|x|61, et fn(x) = ϕ(x−n) ; montrer que λfn ∈ H pour une constante λ bien choisie et que cette suite n’a aucune valeur d’adhérence dans C(R). Conclusion ? 10 Applications différentiables 37 10 Applications différentiables 10.1 Applications différentiables Exercice 297 Soit f une application f de E dans F espaces vectoriels normés de dimension finie. On rappelle les implications suivantes : si x0 ∈ E, “f de classe C1 en x0” ⇒ “f différentiable en x0” ⇒ “f continue en x0”. On sait de même que “f différentiable en x0” ⇒ “f admet des dérivées partielles en x0” montrer que les réciproques sont fausses en général en s’inspirant de : f(x) =  x2 sin 1x + y 2 sin 1y si xy 6= 0 x2 sin 1x si y = 0 y2 sin 1y si x = 0 0 en (0, 0) ou de f(x) = { xy2 x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) Exercice 298 1. Soit f une application de E dans F espaces vectoriels normés et supposons f différen- tiable en a ; montrer que pour tout vecteur u ∈ E∗, la dérivée de f en a dans la direction u existe , i.e. limh→0 1h ( f(a+ hu)− f(a) ) et l’exprimer à l’aide de f ′(a). 2. On considère f : R2 → R définie par f(0, 0) = 0 et, si (x, y) 6= (0, 0), f(x, y) = x 3y x4+y2 . Montrer que f est dérivable en (0, 0) dans toutes les directions, mais que f n’est pas différentiable en (0, 0). Exercice 299 Soit g : R → R une application de classe C2 et F : R2 → R définie par F (x, y) = g(x)− g(y) x− y si x 6= y, F (x, x) = g′(x). Montrer que F est de classe C1 en tout point de R2 et calculer sa différentielle. Exercice 300 Soit En l’espace des polynômes de degré 6 n. Etudier la différentiabilité des applications P 7→∫ 1 0 (P 3(t)− P 2(t)) dt et P 7→ P ′ − P 2. Exercice 301 Soit H un espace préhilbertien sur R, et f(x) = ||x|| de H dans R ; montrer que f est différentiable en tout point de H\{0}, et calculer sa différentielle. (indic. étudier directement ||x + h|| ou considérer la fonction composée x→ ||x||2 → √ ||x||2.) Décrire le noyau Kerf ′(x) en tout x 6= 0. Exercice 302 Soit a ∈ Rn et f : Rn\{a} → Rn définie par f(x) = a−x||x−a||2 . 1. Calculer f ′(x) pour tout x ∈ Rn\{a}. 2. Montrer que f ′(x).h = Sh||x−a||2 où S est la symétrie orthogonale d’axe x − a. Que peut-on dire de la transformation f ′(x) de Rn ? Exercice 303 Soit f une application différentiable de R2 dans lui-même, propre (i.e. ||f(x)|| tend vers ∞ quand ||x|| → ∞), telle que pour tout x ∈ R2 f ′(x) soit injective. On va montrer que f est surjective. Soit a ∈ R2 et g(x) = ||f(x)− a||2 ; 1. Calculer g′(x). 2. Montrer que g atteint sa borne inférieure en un point x0 de R2, et que g′(x0) = 0 ; en déduire le résultat. Exercice 304 Soit, dans Rn, F un sous-espace fermé, et soit f : Rn → R définie par f(x) = d(x, F ). On rappelle que f est 1-lipschitzienne, et que pour chaque x il existe y ∈ F tel que f(x) = d(x, y). 1. On suppose que f est différentiable en x /∈ F . Montrer que ||f ′(x)||L(Rn,R) 6 1. 2. On considère la fonction ϕ : t ∈ [0, 1] → f((1− t)x+ ty) ; en calculant ϕ′(0) de deux façons, montrer que f ′(x). x−y||x−y|| = 1 et ||f ′(x)||L(Rn,R) = 1. 3. En déduire que y est unique. Exercice 305 Soit B une application bilinéaire de E × F dans G, où E,F,G sont des evn de dimension finie. 1. Calculer B′(a) sa différentielle en un point a = (a1, a2) de E × F . 10 Applications différentiables 40 1. Montrer que ||F ′(x, y)|| 6 √ 2 pour tout (x, y). 2. En déduire que la suite récurrente définie par x0, y0 et pour n > 1 xn+1 = 1 2 (cosxn − sin yn), yn+1 = 1 2 (sinxn − cos yn) converge pour tout (x0, y0). Quelle est sa limite ? Exercice 321 Soit f une application différentiable de ]a, b[⊂ R dans Rn ; on suppose qu’il existe k > 0 tel que ||f ′(x)|| 6 k||f(x)||, ∀x ∈]a, b[. Montrer que si f s’annule en un point x0 ∈]a, b[, f est identiquement nulle dans ]a, b[ (montrer que E = {x ∈ ]a, b[ ; f(x) = 0} est ouvert). Exercice 322 Soit E un espace de Banach, U un ouvert de E et f une application différentiable de U dans R telle que l’on ait ||f ′(x)|| 6 k|f(x)|, ∀x ∈ U . Montrer que pour x assez voisin de a ∈ U , |f(x)| 6 ek||x−a|| |f(a)|. Indication : considérer l’application t ∈ [0, 1] → f(a+ t(x− a))). Exercice 323 On considère l’application F : R2 → R2 définie par F (x, y) = (x2 + y2, y2) ; on note F (k) l’application F composée k-fois avec elle-même. On considère Ω = {(x, y) ∈ R2 / limk→∞ F (k)(x, y) = (0, 0)}. 1. Vérifier que (x, y) ∈ Ω ⇐⇒ F (x, y) ∈ Ω. 2. Montrer qu’il existe ε > 0 tel que ||(x, y)|| < ε =⇒ ||F ′(x, y)|| 6 12 ; en déduire que 0 est intérieur à Ω puis que Ω est ouvert. 3. Montrer que Ω est connexe. Exercice 324 On considère l’application F : R2 → R2 définie par F (x, y) = (x2 + y2, y2) . Soit Ω = {p ∈ R2 ; limk→∞ F k(p) = (0, 0)}. 1. Vérifier que p ∈ Ω si et seulement si F (p) ∈ Ω. 2. Montrer qu’il existe δ > 0 tel que ‖|DF (p)‖| < 12 si ‖p‖ < δ. En déduire que (0, 0) est dans l’intérieur de Ω puis que Ω est un ouvert. 3. Utiliser l’homogénéité de F pour montrer que Ω est connexe. Exercice 325 Soient E,F des espaces normés, Ω un ouvert de E et f : Ω → F une application continue. 1. Soit a un point de Ω. Si f est différentiable dans Ω \ {a} et si l’application x ∈ Ω \ {a} 7→ Df(x) admet une limite T ∈ L(E,F ) quand x tend vers a dans Ω, montrer que f est différentiable au point a et que Df(a) = T (appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction g : x 7→ f(x)− T (x)). 2. Supposons f différentiable dans Ω. Montrer que Df : Ω → L(E,F ) est continue en a ∈ Ω si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que ‖f(a+ h)− f(a+ k)−Df(a)(h− k)‖ 6 ε‖h− k‖ si ‖h‖ < δ et ‖k‖ < δ . 3. Supposons maintenant qu’il existe une application continue x ∈ Ω 7→ Tx ∈ L(E,F ) telle que pour tout x ∈ Ω et tout h ∈ E lim t→0,t6=0 f(x+ th)− f(x) t = Tx(h) . Montrer que f est de classe C1 et que Df(x) = Tx pour tout x ∈ Ω. (On pourra considérer la fonction g(t) = f(x+ th)− tTx(h).) Exercice 326 Soient E,F des espaces de Banach, Ω un ouvert connexe de E et fn : Ω → F une suite d’applications différentiables. On suppose que cette suite vérifie : (i) Il existe x0 ∈ Ω tel que (fn(x0)) converge dans F . (ii) La suite (Dfn) converge uniformément sur toute boule fermée BF (a, r) ⊂ Ω. 11 Théorème d’inversion locale et des fonctions implicites 41 Alors, montrer que (fn) converge uniformément sur toute boule fermée de Ω et que, si f(x) = limn→∞ fn(x) et Lx = limn→∞Dfn(x), alors f est différentiable avec Df(a) = La, a ∈ Ω. Exercice 327 Soit Ω un ouvert convexe de Rn et f : Ω → Rn une application de classe C1 qui est injective sur Ω et telle que Df(x) soit injective pour tout x ∈ Ω. 1. Montrer que, pour tous a, b ∈ Ω, ‖f(b)− f(a)−Df(a)(b− a)‖ 6 ‖b− a‖ sup c∈[a,b] ‖Df(c)−Df(a)‖ . 2. Soit (fn) une suite de fonctions de classe C1 telle que fn → f et Dfn → Df uniformément sur tout compact de Ω. On va montrer : pour tout compact K de Ω il existe n0 tel que fn soit injective sur K pour n > n0. – En raisonnant par l’absurde, montrer qu’il existerait K compact et, pour une infinité d’entiers n, des points an, bn ∈ K tels que fn(an) = fn(bn). – Quitte à extraire, montrer qu’alors bn − an → 0. – Utiliser (1.) pour en déduire une contradiction. 11 Théorème d’inversion locale et des fonctions implicites 11.1 Théorèmes d’inversion ; difféomorphismes Exercice 328 1. Soit f une application de R dans R, dérivable en tout point de R et telle que, pour tout x de R, f ′(x) 6= 0. Montrer que f est un homéomorphisme de R sur f(R) et que f−1 est différentiable en tout point de f(R). 2. Soit f définie par f(x) = x+ x2 sin πx si x 6= 0 et f(0) = 0. Montrer que f ′(0) existe et est 6= 0, mais que f n’est inversible sur aucun voisinage de 0. Expliquer. Exercice 329 1. Montrer que l’application ϕ : (r, θ) → (x, y) = (r cos θ, r sin θ) est un C1-difféomorphisme de l’ouvert ]0,∞[×]− π, π[ sur le plan privé de la demi-droite R−. Si f(x, y) = g(r, θ) donner les formules de passage entre les dérivées partielles de f et celles de g. 2. Soit U le plan privé de l’origine, et f(x, y) = (x2 − y2, 2xy). Montrer que f est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de U mais n’est pas un difféomorphisme global. 3. Soit g l’application de R2 dans R2 définie par g(x, y) = (x + y, xy). Trouver un ouvert connexe maximal U ⊂ R2 tel que g soit un difféomorphisme de U sur g(U). 4. Soit h l’application de R2 dans R2 définie par (x, y) → (ex cos y, ex sin y). Montrer que h est de classe C1 dans R2 ; que h′(x, y) est un élément de Isom(R2,R2) pour tout (x, y) de R2 ; mais que h n’est pas un homéomorphisme de R2 sur h(R2). Exercice 330 Soit i = √ −1. Calculer la matrice jacobienne de l’application (x, y) → (X,Y ) de R2 dans R2 définie par X + iY = (x+ iy)3. Exercice 331 Soit U l’ouvert R3\{0}. Soit (x, y, z) → (X,Y, Z) l’application inversion de pôle 0, de puisssance 1, définie dans U , à valeurs dans R3, par les formules X = x x2 + y2 + z2 ; Y = y x2 + y2 + z2 ; Z = z x2 + y2 + z2 Calculer la matrice jacobienne de cette transformation (on posera ρ = √ x2 + y2 + z2) et vérifier que cette matrice est égale à son inverse. Exercice 332 Réconsidérez l’exercice 331 dans l’esprit suivant : “si f est un difféomorphisme, la matrice inverse de la matrice jacobienne de f est la matrice jacobienne de f−1.” Exercice 333 Soit E = Mn(R) et I la matrice unité dans E. En considèrant ϕ : E → E telle que ϕ(A) = A2, montrer qu’il existe α > 0 tel que toute matrice A vérifiant ||A− I|| < α admette une racine carrée. Exercice 334 1. Montrer que si a, b sont voisins de 1, on peut trouver x, y ∈ R tels que y + exy = a, x + e−xy = b. 11 Théorème d’inversion locale et des fonctions implicites 42 2. Soit f l’application de R2 dans lui-même définie par f(x, y) = (x sin(xy)+y, y cos(xy)+x), et soit (an, bn) une suite tendant vers (0, 0). Montrer que si f(an, bn)= 0 pour tout n, la suite (an, bn) stationne. Exercice 335 Soit U un ouvert de R2 et ϕ : U → R2 une application de classe C1 ϕ = (f, g). On considère u, v réels et on cherche x, y tels que (∗) f(x, y) = u, g(x, y) = v. 1. On suppose que la différentielle de ϕ est de rang 2 en tout point de U . Montrer que pour tout (u, v) le système (∗) admet une solution, unique localement. Que peut-on dire si la différentielle est de rang 2 en un point de U seulement ? 2. A-t-on des solutions si la différentielle est de rang 0 ? 3. On suppose maintenant que la différentielle de ϕ est de rang 1 en tout point de U . Si f ′x ne s’annule pas sur U , montrer que ψ : (x, y) → (f(x, y), y) définit un difféomorphisme d’un ouvert V ⊂ U sur ψ(V ). En déduire G telle que g(x, y) = G(f(x, y)) sur V . Que peut-on dire des solutions du système (∗) ? Exercice 336 Soit E = Rn muni d’une norme quelconque, et Br la boule fermée ||x|| 6 r. Soit f un C1- difféomorphisme entre deux ouverts U et V de E, contenant 0, tel que f(0) = 0. On pose A = f ′(0) ∈ L(E). Soit 0 < ε < 1. 1. Montrer qu’il existe R > 0 tel que pour tout x ∈ BR, ||A−1(f(x))− x|| 6 ε ||x||. 2. Montrer qu’il existe R′ > 0 tel que pour 0 6 r 6 R′, (1− ε) A(Br) ⊂ f(Br) ⊂ (1 + ε) A(Br). 3. En déduire que limr→0 vol f(Br) vol (Br) = |detA|. Exercice 337 Démontrer le résultat suivant (théorème d’inversion globale) : Soit E, F deux Banach, U un ouvert de E et f : U → F une application de classe C1 sur U . Alors f est un C1-difféomorphisme de U sur f(U) si et seulement si : (i) f est injective ; (ii) f ′(x) ∈ Isom(E,F ) pour tout x ∈ U . Exercice 338 1. On considère l’application ϕ de R3 dans lui-même définie par (x, y, z) → (e2y + e2z, e2x − e2z, x− y). Montrer que ϕ est un C1-difféomorphisme de R3 sur son image que l’on précisera. 2. Soit λ ∈ R et F l’application de R3 dans lui-même définie par (x, y, z) → (ex−y+2z + e−x+y+2z, e2x+ e2y− 2λex−y, e2x+e2y−2e−x+y). Montrer que F s’écrit G◦ϕ, G à préciser, et que c’est un C1-difféomorphisme de R3 sur son image si et seulement si λ > 0. Exercice 339 On va proposer trois démonstrations possibles de l’exercice classique suivant : soit f une appli- cation de classe C1 de R dans lui-même, telle que |f ′(x)| 6 k pour tout x réel, où k ∈]0, 1[. Alors F définie par F (x, y) = (x+ f(y), y + f(x)) est un difféomorphisme de classe C1 de R2 sur lui-même. 1. Remarquer que F est injective et F ′(x, y) ∈ Isom(R2,R2) pour tout (x, y). Reste à établir la surjection. 2. 1ère méthode : Montrer que F est propre (lim ||F (x, y)|| = +∞ quand ||(x, y)|| → +∞) et que si (a, b) ∈ R2, la fonction g(x, y) = ||F (x, y)−(a, b)||2 est différentiable et atteint sa borne inférieure en un point annulant g′(x, y) ; conclure. 3. 2ème méthode : Montrer que F (R2) est à la fois ouverte et fermée. Conclure. 4. 3ème méthode : Si (a, b) ∈ R2, appliquer le théorème du point fixe à l’application φ(x, y) = (a− f(y), b− f(x)) ; conclure. Exercice 340 Soit a, b ∈ R et f : R2 → R2 définie par f(x, y) = (x+ a sin y, y + b sinx). 1. Montrer que si |ab| < 1, f est un difféomorphisme de R2 sur lui-même. 2. Montrer que si |ab| = 1, f n’est plus un difféomorphisme mais reste un homéomorphisme de R2 sur lui-même. 11 Théorème d’inversion locale et des fonctions implicites 45 Exercice 355 Considérons F (x, y) = yn + an−1(x)yn−1 + ... + a1(x)y + a0(x) un polynôme à coefficients variables. On suppose : 1. les fonctions x 7→ aj(x) sont C1, j = 0, 1, ..., n− 1, 2. pour un certain x0 ∈ R, le polynôme y 7→ F (x0, y) a un zéro simple y0 ∈ R. Démontrer que, dans ces conditions, F (x, y) possède, pour x voisin de x0, un zéro y(x) qui lui est proche de y0 et que la dépendance x 7→ y(x) est C1. Exercice 356 Donner l’allure de C = {(x, y) ∈ R2 ; x4 + y3 − x2 − y2 + x − y = 0} au voisinage des points (0, 0) et (1, 1). Exercice 357 Montrer que l’équation ex + ey + x + y − 2 = 0 définit, au voisinage de l’origine, une fonction implicite ϕ de x dont on calculera le développement limité d’ordre trois en 0. 11.3 Sous-variétés de Rn Exercice 358 Déterminer, parmi les sous-ensembles définis ci-dessous, ceux qui sont des sous-variétés : 1. {(x, y, z) ∈ R3 ; x3 + y3 + z3 − 3xyz = 1} ; 2. {(x, y) ∈ R2 ; xy = 0} ; 3. {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 + z2 = 1 et x2 + y2 − x = 0} ; 4. {(x, y) ∈ R2 ; y2 = x3} ; 5. {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 = tan(α)z2} ; Exercice 359 Soient α et β des fonctions de C1(R,R). 1. On considère l’application ϕ : R → R3 donnée par ϕ(x) = (α(x), 0, β(x)). Donner des conditions à α, β pour que C = ϕ(R) soit une sous-variété de R3. 2. Soit maintenant f : R2 → R3 l’application f(x, y) = (α(x) cos(y), α(x) sin(y), β(x)). On cherche encore des conditions pour α, β sous lesquelles S = f(R2) soit une sous-variété de R3. 3. Notons p = f(x, 0), x ∈ R. Quel est le lien entre les espaces tangents TpS et TpC. Exercice 360 1. Montrer que l’équation xy+ xz+ yz+ 2x+ 2y− z = 0 définit au voisinage de (0, 0, 0) une surface. Donner l’équation du plan tangent de cette surface à l’origine. 2. Montrer que les équations 4xy+2xz+4y−z = 0 et xy+xz+yz+2x+2y−z = 0 définissent au voisinage de l’origine une courbe. Déterminer l’espace tangent de cette courbe à l’origine. Exercice 361 Soit F = (F1, ..., Fk) une application C1 d’un ouvert U de Rm dans Rk. Notons M = {x ∈ U ; F (x) = 0} et soit a ∈M . 1. Établir l’équivalence des propriétés suivantes : – DF (a) est surjective. – Les formes linéaires DF1(a), ..., DFk(a) sont linéairement indépendantes. – KerDF (a) = ⋂k i=1 KerDFi(a) est de dimension m− k. 2. Un point a ∈M est dit point régulier si DF (a) est surjective. Montrer que l’ensemble des points réguliers de M est un ouvert de M . Exercice 362 Soit f : Rn → R un polynôme homogène de degré α > 0 à n variables. 1. En calculant la dérivée de λ 7→ f(λx) de deux manières différentes, établir l’identité d’Euler : n∑ i=1 xi ∂f ∂xi = α f(x) pour tout x ∈ Rn . 2. Soit a un réel non nul. Montrer que Xa = f−1({a}) est une sous-variété de dimension n−1 de Rn. Établir ensuite que, pour a1 > a2 > 0, Xa1 et Xa2 sont difféomorphes. 3. Supposons que ϕ est un difféomorphisme de Rn avec ϕ(Xa1) = Xa2 et soit p ∈ Xa1 . Exprimer l’espace tangent Tϕ(p)Xa2 en fonction de TpXa1 . Exercice 363 Soit f : Mn(R) → R l’application C∞ donnée par f(A) = det(A). 12 Différentielles d’ordre supérieur, formule de Taylor, extremums 46 1. Montrer que lim λ→0 det(I + λX)− 1 λ = tr(X) , X ∈Mn(R) . En déduire Df(I)(X). 2. En remarquant que det(A+ λX)− det(A) λ = det(A) det(I + λA−1X − 1) λ , pour A une matrice inversible, calculer Df(A)(X) lorsque A est inversible. 3. Montrer que Sln(R) = {A ∈Mn(R) ; det(A) = 1} est une sous-variété de Mn(R) de dimension n2− 1 (on pourra faire le lien avec l’exercice 362) dont l’espace tangent en I est TISln(R) = {X ∈Mn(R) ; tr(X) = 0} . Exercice 364 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, a ∈ E et f : E → E un difféomorphisme de classe C1. On suppose que fn = id et f(a) = a. On pose A = Df(a) et u(x) = ∑n p=1A −pfp(x) pour x ∈ E. 1. Montrer que u est un difféomorphisme local en a tel que u ◦ f = A ◦ u. 2. Soit F l’ensemble des points fixes de f . Montrer que F est une sous-variété de E. 3. Soit g : R2 → R2, g(x, y) = (x, y+ y3− x2). Montrer que g est un difféomorphisme de R2. En déduire que 2) n’est plus nécessairement vrai si on supprime l’hypothèse fn = id. 12 Différentielles d’ordre supérieur, formule de Taylor, extremums 12.1 Différentielles d’ordre supérieur Exercice 365 (Rappel du Cours) Soient E1, E2 et F des espaces normés et B : E1×E2 → F une application bilinéaire continue. Montrer que B est de classe C∞ et déterminer les différentielles DkB. Exercice 366 Soient E et F des espaces de Banach et f : E → F une application de classe C2. 1. Soit h ∈ E et ϕh : E → F l’application définie par ϕh(x) = Df(x)(h). Justifier que D2f(a)(k, h) = Dϕh(a)(k) pour tout k ∈ E . 2. Supposons que, pour tous t ∈ R et x ∈ E, f(tx) = t2f(x). Montrer que D2f(0)(x, x) = 2f(x) pour tout x ∈ E. 3. Soit a, h, k ∈ E et soit Ψ : R2 → F définie par Ψ(t, s) = f(a+ th+ sk). Calculer ∂ 2Ψ ∂t∂s (0, 0). Exercice 367 Soit f : Rn → Rn de classe C2 telle que, pour tout x ∈ Rn, l’application Df(x) est un automor- phisme orthogonal, i.e. Df(x) est linéaire bijective et conserve le produit scalaire : 〈Df(x)(h), Df(x)(k)〉 = 〈h, k〉 pour tout h, k ∈ Rn . Montrer que l’application f est elle même un automorphisme orthogonal. Indications : 1. Déterminer la différentielle de x 7→ 〈Df(x)(h), Df(x)(k)〉. 2. Vérifier que A(h, k, l) = 〈Df(x)(h), D2f(x)(k, l)〉 est antisymétrique par rapport aux deux premières variables et symétrique par rapport aux deux dernières variables. 3. En déduire que A(h, k, l) = 0 pour tous h, k, l ∈ Rn puis conclure. Exercice 368 1. Trouver les applications G : R2 → R de classe C2 telles que ∂ 2G ∂x∂y = 0. 2. Trouver les applications F : R2 → R de classe C2 solutions de ∂2F ∂x2 − ∂ 2F ∂y2 = 0 . (Indication : poser ϕ(u, v) = 12 (u+ v, u− v) et G = F ◦ ϕ ). Exercice 369 Soient E,F,G des Banach et u : E → F , v : F → G deux applications C2. Calculer, à l’aide de la définition, la différentielle seconde de w = v ◦ u. 12 Différentielles d’ordre supérieur, formule de Taylor, extremums 47 12.2 Fonctions harmoniques Exercice 370 Une fonction f : U ⊂ Rn → R est dite harmonique si ∑n i=1 ∂2f ∂x2i (x) = 0 pour tout x ∈ U . Une fonction f(x, y) est dite radiale si ses valeurs au point (x, y) ne dépendent que de la distance r = √ x2 + y2 à l’origine, c’est à dire si f(x, y) = F (r) = F ( √ x2 + y2), où F = F (r) est une fonction d’une seule variable. Montrez que les seules fonctions radiales et harmoniques, dans R2 privé de l’origine, sont les fonctions C ln(r)+ D = C ln( √ x2 + y2) +D, où C et D sont des constantes. Exercice 371 Vérifiez que les fonctions suivantes sont harmoniques dans R2 : 1. ex cos y ; 2. x3 − 3xy2 ; 3. pour tout entier k > 0, la fonction f(x, y) = rk cos(kθ), où r et θ sont les coordonnées polaires de (x, y). Exercice 372 Exprimez en coordonnées polaires : y2 ∂nf ∂x2 − 2xy ∂ nf ∂x∂y + x2 ∂nf ∂y2 − x∂f ∂x − y ∂f ∂x . Exercice 373 Soit U l’ouvert R3 privé de l’axe des z. 1. Vérifiez que la fonction f(x, y, z), qui vaut ez cos θ2 sin r√ r en coordonnées cylindriques, est harmonique sur U . 2. Soit λ une constante réelle. Montrer qu’une fonction du type f(x, y, z) = ez cos(λθ)u(r) est harmonique dans U si et seulement si u = u(r) est solution de l’équation différentielle (dite de Bessel) : r2u′′(r) + ru′(r) + [r2 − λ2]u(r) = 0. (Eλ) 3. Vérifiez, que pour λ = 3/2, la fonction u(r) = sin r − r cos r r √ r convient. Exercice 374 Dans R3 privé de l’origine, montrez que les seules fonctions harmoniques et radiales (c’est-à-dire ne dépendant que de la distance ρ de (x, y, z) à l’origine) sont les fonctions f(x, y, z) = Cρ +D = C√ x2+y2+z2 +D, où C et D sont des constantes. Exercice 375 Soient ρ, θ, ϕ les coordonnées sphériques dans R3. On pose sinϕ = t. Montrer que, pour qu’une fonction de la forme f(x, y, z) = ρnP (t), où n est un entier > 0, soit harmonique, il faut et il suffit que la fonction t 7→ P (t) soit solution de l’équation différentielle (dite de Legendre) : (1− t2)P ′′(t)− 2tP ′(t) + n(n+ 1)P (t) = 0. (Dn) Pour n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, vérifiez, en le calculant par la méthode des coefficients indéterminés, qu’il y a un polynôme Pn(t), et un seul, de degré n, solution de (Dn), et tel que Pn(1) = 1. [Remarque : ce fait vaut pour tout n ; les polynômes Pn s’appellent polynômes de Legendre]. Exercice 376 Dans Rn, on pose ∆f = ∂ f ∂x21 + · · · + ∂ f ∂x2n , et ρ = √ x21 + · · ·+ x2n. Soit une fonction radiale f(x1, x2, . . . , xn) = F (ρ). Montrer que ∆f = F ′′(ρ) + (n− 1)F ′(ρ). Si n > 3, en déduire que les seules fonctions radiales et harmoniques dans Rn privé de l’origine sont les f(x, y, z) = Cρn−2 +D, où C et D sont des constantes. Exercice 377 ∆(fg) = f∆g + g∆f + 〈∇f | ∇g〉. Exercice 378 Une fonction f de classe C4 (par exemple à 2 variables) est dite biharmonique si ∆(∆f) = ∂4f ∂x4 + 2 ∂4f ∂x2∂y2 + ∂4f ∂y4 ≡ 0. Ces fonctions interviennent en théorie de l’Elasticité. Bien entendu toute fonction harmonique est biharmonique. Montrez que, si f et g sont deux fonctions harmoniques, alors la fonction xf + (x2 + y2)g est biharmonique. 13 Equations différentielles 50 Exercice 398 1. En suivant la méthode d’itération de Picard, trouver la solution des équations avec condi- tion initiale : (i) x′(t) = ax(t) + b; x(0) = 0. (ii) x′(t) = sinx(t); x(0) = 0. 2. SoitA une matrice n×n constante. Trouver par la méthode de Picard la solution deX ′(t) = AX(t);X(0) = X0 ; retrouver ainsi la solution de x′′(t) = −x(t); x(0) = 0, x′(0) = 1. 3. Soit cette fois A(t) une famille de matrices n × n de fonctions continues, telle que pour s, t, on ait A(s)A(t) = A(t)A(s). Trouver la solution de l’équation X ′(t) = A X(t);X(0) = X0 (on montrera que B(s)B(t) = B(t)B(s) où B(t) = ∫ t 0 A(u) du). Exercice 399 On considère l’équation (1) x′ = 3x2/3 avec condition initiale x(0) = 0. 1. Soit ϕ une solution de (1) définie sur R telle que ϕ(0) = 0 ; on pose λ = inf{t 6 0; ϕ(t) = 0} > −∞ et µ = sup{t > 0; ϕ(t) = 0} 6 +∞. Montrer que ϕ est identiquement nulle sur (λ, µ). 2. Montrer que ϕ vaut (t − λ)3 si t 6 λ, 0 sur [λ, µ] et (t − µ)3 si t > µ ; en déduire toutes les solutions maximales de (1) définies sur R avec x(0) = 0. Exercice 400 On considère l’équation différentielle x′ = |x|+ |t| ; 1. Montrer que pour tout x0 réel, il existe une solution maximale (ϕ, J) telle que ϕ(0) = x0. 2. Déterminer la solution maximale correspondant à x0 = 1, en distinguant les cas t > 0 et t < 0, et vérifier qu’elle est définie sur R tout entier. Combien de fois est-elle dérivable ? Exercice 401 On considère l’équation différentielle x′ = |x|+ |t|. 1. Montrer que pour tout réel x0, il existe une solution maximale (ϕ, J) telle que ϕ(0) = x0. 2. Déterminer la solution maximale correspondant à x0 = 1, en distinguant les cas t > 0 et t < 0, et vérifier qu’elle est définie sur R tout entier. Combien de fois est-elle dérivable ? Exercice 402 Soit f : R2 → R donnée par f(t, x) = 4 t 3x t4+x2 si (t, x) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0. On s’intéresse à l’équation différentielle x′(t) = f(t, x(t)) . (2) 1. L’application f , est-elle continue et/ou localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable ? Que peut-on en déduire pour l’équation (2) ? 2. Soit ϕ une solution de (2) qui est définie sur un intervalle I ne contenant pas 0. On définit une application ψ par ϕ(t) = t2ψ(t), t ∈ I. Déterminer une équation différentielle (2’) telle que ψ soit solution de cette équation, puis résoudre cette équation (2’). 3. Que peut-on en déduire pour l’existence et l’unicité des solutions de l’équation différentielle (2) avec donnée initiale (t0, x0)) = (0, 0) ? Exercice 403 Soit l’équation différentielle x′′′ − xx′′ = 0 . (3) où x est une application trois fois dérivable, définie sur un intervalle ouvert de R et à valeurs dans R. 1. Mettre cette équation différentielle sous la forme canonique y′(t) = f(t, y(t)) , où f est une application que l’on déterminera. 2. Soient t0, a, b, c ∈ R. Montrer qu’il existe une unique solution maximale ϕ de l’équation (3) qui satisfasse aux conditions initiales ϕ(t0) = a , ϕ′(t0) = b et ϕ′′(t0) = c . 3. Soit ϕ une telle solution maximale. Calculer la dérivée de la fonction t 7→ ϕ′′(t) exp ( − ∫ t a ϕ(u) du ) . En déduire que la fonction ϕ est soit convexe, soit concave sur son intervalle de définition. Déterminer ϕ dans le cas où ϕ′′(a) = 0. 13 Equations différentielles 51 13.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz Exercice 404 On considère l’équation différentielle (de Ricatti) sur R : (E) x′(t) = a(t)x2(t) + b(t)x(t) + c(t), où a, b, c ∈ C(R, R). Soit xi, 1 6 i 6 4, quatre solutions distinctes définies sur I. On pose B = x3 − x1 x3 − x2 x4 − x2 x4 − x1 . 1. Montrer que B est bien défini sur I. 2. Montrer que B est une fonction constante sur I (utiliser la dérivée logarithmique). Exercice 405 On considère l’équation différentielle (de Bernoulli) sur R : (E) y′ + y + xy2 = 0. 1. Recherche des solutions qui ne s’annulent jamais. Transformer l’équation par le difféomorphisme (x, y) ∈ R × R∗ → (x, 1y ) en une équation (E ′) qu’on résoudra. En déduire une famille (ϕλ) de solutions de (E) avec leur intervalle maximal de définition. 2. Montrer que par tout point (x0, y0) du plan avec y0 6= 0, il passe une solution ϕλ. En déduire toutes les solutions de (E). Exercice 406 Soit f un champ de vecteurs de classe C1 sur un ouvert U de Rn, et, (1) x′ = f(x), l’équation associée. 1. Soit x0 ∈ U tel que f(x0) = 0. Si ϕ : J → U est une solution de (1) telle que ϕ(t0) = x0 pour un t0 ∈ J , alors ϕ(t) = x0 pour tout t ∈ J . 2. Si f est bornée sur U et ϕ : J → U est une solution de (1) où J =]a, b[, b ∈ R, alors limt→b ϕ(t) existe. 3. Soit ϕ : J → U une solution de (1) où J ⊃]0,+∞[, et supposons en outre que limt→∞ ϕ(t) = a ∈ U . Montrer que f(a) = 0. Exercice 407 Soit f un champ de vecteurs de classe C1 de Rn dans Rn, et on suppose (pour simplifier) que, pour toute donnée initiale x de Rn, il existe une unique solution passant par x au temps t = 0, définie sur R tout entier. On note φ(t, x) cette solution (ou φ le flot du champ). 1. Montrer qu’on a φ(s, φ(t, x)) = φ(s+ t, x) pour tous s, t ∈ R. et la vérifier sur l’équation x′ = x2, x(0) = α > 0 aprés avoir précisé le domaine de définition du flot. 2. On fait n = 2 ; décrire le flot lorsque f(x, y) = (−x, y); (y, x); (−y, x), et vérifier la relation précédente. Exercice 408 (Fonctions implicites et Cauchy-Lipschitz) Soit f : R2 → R, de classe C2, et (a, b) un point tel que f(a, b) = 0, et f ′y(a, b) 6= 0. Montrer que si y = ϕ(x) est la fonction implicite associée à f(x, y) = 0, ϕ est solution de l’équation différentielle : y′ = −f ′ x(x, y) f ′y(x, y) ; y(a) = b. Réciproque. Exercice 409 (Inégalité de Gronwall) Soit u, v deux applications de [0, β] dans R continues et positives telles que u(t) 6 C + ∫ t 0 u(s)v(s) ds où C est une constante positive ou nulle. Montrer que u(t) 6 Ce R t 0 v(s) ds. Exercice 410 Soit f une application K-lipschitzienne sur un ouvert U ⊂ Rn. On va démontrer que le flot de solutions de x′ = f(x), supposé défini sur un intervalle [t0, t1], dépend continument de la condition initiale x(t0) = x0. 1. Soit x1, x2 deux telles solutions ; montrer que si t ∈ [t0, t1], ||x1(t)− x2(t)|| 6 ||x1(t0)− x2(t0)||eK(t−t0) 2. En déduire le résultat et le vérifier sur l’exemple : x′ = x2 sur R. 13 Equations différentielles 52 Exercice 411 Soit I un intervalle ouvert de R, E = Rn , f(t, x) une fonction continue de I × E dans E telle que ||f(t, x1)− f(t, x2)|| 6 k(t) ||x1 − x2||, où k est une fonction continue > 0 définie sur I. 1. On considère J intervalle compact ⊂ I et l’opérateur T défini sur C(J,Rn) par Tx(t) = x0 + ∫ t t0 f(s, x(s)) ds; montrer que pour p assez grand, T p est contractante ; en déduire que l’équation x′ = f(t, x) admet une unique solution définie sur J tout entier telle que x(t0) = x0. 2. Montrer que l’équation x′ = f(t, x) admet une unique solution telle que x(t0) = x0, définie sur I tout entier (on pourra écrire I comme union d’intervalles compacts). 3. Exemples : Montrer que les solutions maximales des équations y′′ = − sin y, y(0) = a, y′(0) = b (qu’on mettra sous forme canonique), et x′ = A(t).x, x(0) = x0 où A(t) ∈ L(Rn) est constituée de fonctions continues sur R, sont définies sur R tout entier. Exercice 412 On considère l’équation xx′′ = (x′)2 + 1 sur R. 1. Montrer que, x0 6= 0 et x′0 étant donnés dans R, il existe une unique solution ϕ définie au voisinage de 0, telle que ϕ(0) = x0 et ϕ′(0) = x′0. 2. Si de plus x′0 6= 0, on peut supposer que ϕ est un C1–difféomorphisme d’un voisinage de 0 sur un voisinage de x0 (pourquoi ?) ; on note ψ l’application réciproque et on pose z(x) = ϕ′(ψ(x)). Calculer z′(x), trouver l’équation satisfaite par z et expliciter z ; en déduire une expression de ϕ. 3. Quelle est la solution ϕ de l’équation telle que ϕ(0) = x0 6= 0 et ϕ′(0) = 0. Exercice 413 1. On cherche à résoudre le problème x′ = t2 + tx , x(0) = 0 . Écrire l’équation intégrale associée et utiliser les cylindres de sécurités pour justifier que le procédé itératif de Picard donne une suite de fonctions (xn) convergent uniformément sur [−1/2, 1/2] vers une solution du problème. Partant de x0 ≡ 0, déterminer ensuite cette suite (xn) et la solution du problème donné. 2. Résoudre avec ce procédé itératif le problème x′ = tx , x(0) = 1 , puis aussi x′1 = x2x3 , x1(0) = 0 , x′2 = −x1x3 , x2(0) = 1 , x′3 = 2 , x3(0) = 0 , en commençant avec x0(t) = (0, 1, 0). Exercice 414 Calculer les premiers termes de l’itération de Picard avec les conditions initiales données. Si possible trouver des solutions explicites, y compris leurs domaines de définition. 1. x′ = x+ 2 ; x(0) = 2. 2. x′ = x4/3 ; x(0) = 0. 3. x′ = x4/3 ; x(0) = 1. 4. x′ = 1/(2x) ; x(1) = 1. 13.4 Systèmes à coefficients constants Exercice 415 On rappelle les différentes méthodes pour résoudre un système différentiel linéaire à coefficients constants X ′(t) = A.X(t) sur E de dimension finie : 1. On met A sous forme triangulaire et on résout de proche en proche le nouveau système obtenu par changement de base avant de revenir au système initial. 2. On met A sous forme de Dunford, P−1AP = D +N , où D semi-simple et N nilpotente, qui commutent. On calcule ainsi etA.X0, la solution valant X0 au temps t = 0. 3. On utilise le théorème de Cayley-Hamilton pour établir des relations entre les puissances de A et calculer ainsi etA. 13 Equations différentielles 55 Exercice 435 On considère les équations (1) y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, (2) y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x) où p, q et r sont des fonctions continues d’un intervalle I ⊂ R dans R. Etablir ce qui suit : 1. Pour tout x0 ∈ I, et tout (a, b) ∈ R2, (1) admet une solution maximale définie sur I tout entier, telle que y(x0) = a, y′(x0) = b. 2. Soit x0 ∈ I ; les solutions de (1) forment un espace vectoriel V de dimension 2 dont une base est (y1, y2) avec y1(x0) = 1, y′1(x0) = 0, y2(x0) = 0, y ′ 2(x0) = 1. 3. Soit u et v deux solutions de (1) et W = u′v − uv′ leur wronskien ; trouver une équation différentielle satisfaite par W ; en déduire que W est soit identiquement nul, soit jamais nul, et que W 6= 0 ⇐⇒ (u, v) est une base de V . Quel est le rapport entre W et la résolvante du système associé ? 4. La solution y de (2) vérifiant y(x0) = 0, y′(x0) = 1, où x0 fixé dans I, est y(x) = y(x0)y1(x) + y′(x0)y2(x) + ∫ x x0 r(t) ( y1(t)y2(x)− y1(x)y2(t) ) W (t) dt. 5. Exemple : Résoudre y′′ + 4y = tanx. Exercice 436 On considère l’équation différentielle linéaire sur Rn (1) y′ = A(x).y où A(x) est continue sur un intervalle I. 1. Montrer que si l’on suppose A(x)A(x′) = A(x′)A(x) pour tous x, x′ ∈ I, la résolvante de (1) est R(x, x0) = exp (∫ x x0 A(s) ds ) =: expB(x). (Indic. : remarquer que B(x)B(x′) = B(x′)B(x).) 2. Montrer que siA(x) = ( a(x) b(x) −b(x) a(x) ) ,A vérifie l’hypothèse de a) etB(x) est de la forme ( α(x) β(x) −β(x) α(x) ) . 3. Résoudre l’équation y′ = A(x).y lorsque a(x) = − x2(1+x2) et b(x) = 1 2(1+x2) . 4. Résoudre l’équation y′ = A(x).y + C(x) lorsque A(x) = ( sh(x) 1 −1 sh(x) ) et C(x) = ( sinx sh(x) cosx sh(x) ) . Exercice 437 Soit E un espace de Banach et t→ A(t) une application continue de R dans L(E,E). On suppose que A est périodique de période ω. Cela n’implique pas nécessairement que les solutions de (1) x′ = A(t).x soient également ω-périodiques. 1. Dans le cas où E est un espace de dimension 2 et A est une matrice constante, donner une condition nécessaire et suffisante pour que les solutions de (1) soient ω-périodiques. 2. Dans le cas général, soit R(t, a) le noyau résolvant associé à (1). (a) Montrer que R(t+ ω, a+ ω) = R(t, a) pour tout t. (b) Montrer que la solution x(t) de (1) telle que x(0) = x0 est ω-périodique si et seulement si R(ω, 0)x0 = x0. (c) A quelle condition l’équation x′ = A(t).x a-t-elle une solution ω-périodique ?. 3. On considère l’équation (1) x′′ + f(t)x = 0 où f est une fonction continue, ω-périodique. Calculer detR(a+ ω, a) ; (1) a-t-elle toujours une solution ω-périodique ? 13.6 Divers Exercice 438 On considère l’équation du pendule x′′ + sinx = 0. On sait que les solutions maximales sont définies sur R tout entier. 1. Soit ϕ la solution maximale de condition initiale ϕ(0) = a, ϕ(0) = 0 ; montrer que ϕ′(t)2 = 2(cosx(t) − cos a) et en déduire que |x(t)| 6 a pour tout t. 13 Equations différentielles 56 2. Soit y′′ = −y, y(0) = a, y′(0) = 0 le problème linéarisé correspondant. Montrer que Z définie par Z = (x− y, x′ − y′) vérifie un système différentiel du premier ordre de la forme Z ′(t) = AZ(t) +B(t), où A est antisymétrique. En déduire, pour tout t, |x(t)− y(t)| 6 a 3 6 |t|. Exercice 439 Soit V un champ de vecteurs défini sur Ω ⊂ Rn. On dit qu’une application h : Ω → R de classe C1 est une intégrale première de V , si h ◦ ϕ(t) est constante sur J pour toute solution (ϕ, J) de l’équation autonome associée. On suppose le champ de classe C1 sur Ω. 1. Montrer que h est une intégrale première de V si et seulement si h′(x).V (x) = 0 pour tout x ∈ Ω. 2. Donner une intégrale première sur Rn du système différentiel X ′ = AX où A est une matrice anti- symétrique n× n (commencer avec n = 2). 3. Soit f une application de classe C∞ de R dans R telle que f(0) = 0, et on note F (x) = ∫ x 0 f(u) du. Montrer que la fonction (x, y) → y2 + 2F (x) est une intégrale première sur R2 du champ de vecteurs V (x, y) = (y, −f(x)) défini sur R2. On suppose que F tend vers +∞ lorsque x tend vers ±∞. Montrer que si une solution (x(t), y(t)) de X ′ = V (X) est définie sur un intervalle quelconque I, les fonctions x et y sont bornées sur I (remarquer que F est bornée inférieurement). Exercice 440 (Extrait de l’épreuve de septembre 97) Soit f une application de classe C1 d’un ouvert Ω de Rn dans Rn telle que f(0) = 0. On considère l’équation différentielle (1) dx dt = f(x). 1. Soit F un difféomorphisme de classe C1 de Ω sur un ouvert Ω1 de Rn tel que F (0) = 0, et on note G le difféomorphisme inverse. Montrer que si ϕ est solution de (1), ψ = F ◦ ϕ est solution de l’équation (2) dy dt = g(y), où g est une application de classe C1 de Ω1 dans Rn que l’on déterminera. On suppose maintenant n = 3. 2. Montrer que l’application F de R3 dans R3 définie par F (x1, x2, x3) = (2x2 − x3, x1 − x22, x3) est un difféomorphisme de R3 de classe C∞ tel que F (0) = 0. 3. Déduire à l’aide de a) et b) les solutions de l’équation différentielle dx1 dt = 2(x1 − x 2 2)− 2x2 + x3 + 2x2(x1 − x22 + 5x2 − x3) dx2 dt = x1 − x 2 2 + 5x2 − x3 dx3 dt = 2(x1 − x 2 2) + 4x2 + x3 Exercice 441 (Calcul fonctionnel holomorphe) Soit A ∈ L(Rn) et 0 < ρ = sup{|λ|; λ valeur propre de A}. On va montrer sur un exemple que l’on peut calculer f(A) pour toute f somme d’une série entière de rayon > ρ. Soit donc A un opérateur de Rn tel que (A− I)2(A− 2I) = 0. 1. On note E1 = ker(A − I)2, E2 = ker(A − 2I), pi le projecteur sur Ei (parallèlement à l’autre). Calculer p1 et p2 en fonction de A (Solution : p1 = −A(A− 2I) et p2 = (AI)2.) 2. Calculer Anx pour x ∈ E1, puis x ∈ E2. Déduire de a) l’expression de An pour tout n > 0 (Solution : An = (I + n(A− I))A(2I −A) + 2n(AI)2). 3. Soit f un polynôme de degré > 2 et P le polynôme minimal de A. Montrer que f(x)P (x) = g(x) + f(2) x−2 − xf(1) (x−1)2 − f ′(1) x−1 où g est lui-même un polynôme. En déduire f(A) pour f polynôme puis f somme d’une série entière de rayon > 2. 4. Trouver ainsi etA si t ∈ R et résoudre le système x′ = A.x où A = ? ? Exercice 442 On considère A la matrice 0 1 00 0 1 1 0 0 . 1. Calculer A3 et montrer que etA = f g hh f g g h f , où f(t) =∑∞0 t3n3n! , g(t) =∑∞0 t3n+13n+1! , h(t) =∑∞0 t3n+23n+2! . Montrer que f(t) = 13 (e t + ejt + ej 2t) et donner l’expression de h. 14 Généralités sur les groupes 57 2. On considère ϕ : R → R une application de classe C∞. Montrer qu’une solution particulière de l’équation (E) y′′′ − y = ϕ(t) est y(t) = ∫ t 0 h(t− s)ϕ(s) ds. 3. On suppose ϕ 1-périodique (ie ϕ(t + 1) = ϕ(t) ∀t ∈ R). Soit y une solution de (E) telle que y(0) = y(1), y′(0) = y′(1), y′′(0) = y′′(1). Montrer que y est 1-périodique. Montrer que (E) possède une et une seule solution 1-périodique. Exercice 443 Soit E = Rn et t→ A(t), t→ B(t) deux applications de J dans L(E) où J =]α,+∞[. On considère les deux équations (1) x′ = A(t).x (2) x′ = ( A(t) +B(t) ) .x, et a ∈ J . On note R(t, a) la résolvante de (1) telle que R(a, a) = IE . 1. Si y est une solution de (2), montrer que la fonction z définie par y(t) = R(t, a).z(t) est solution d’une équation de la forme (3) z′ = C(t).z, où C(t) = R(a, t)B(t)R(t, a). 2. On suppose que ||R(t, s)|| 6 k pour tous t, s ∈ J où k est une constante et que ||B(t)|| 6 ε(t) où ε est continue sur J . Montrer que ||C(t)|| 6 k2ε(t). 3. On suppose de plus que ∫∞ a ε(t) dt converge. Montrer (à l’aide de Gronwall) que si z est telle que z(a) 6= 0, ||z(t)|| est uniformément bornée sur [a,+∞[, puis que z a une limite lorsque t→ +∞. Exercice 444 Soit f ∈ C1(R× Rn,Rn) une application bornée et soit ϕ la solution maximale du problème x′(t) = f(t, x(t)) , x(t0) = x0 , que l’on suppose définie sur l’intervalle I ⊂ R. (Rappeler pourquoi une telle solution existe). Montrer que ϕ est définie sur I = R tout entier. (Indication : supposer β = sup{t ; t ∈ I} <∞. Établir que ϕ est bornée sur [t0, β[ et que limt→β ϕ(t) existe. Conclure). Exercice 445 Soit f une application C1 et bornée de Rn dans Rn et soit x0, x′0 ∈ Rn. Montrer que le problème x′′(t) = f(x(t)) , x(0) = x0 , x′(0) = x′0 admet une unique solution maximale définie sur R. Exemple : x′′ + sin(x) = 0, l’équation du pendule simple . Exercice 446 Soit a > 0 et soit f : R× Rn → Rn une application de classe C1 vérifiant |〈x, f(t, x)〉| 6 a〈x, x〉 pour tout (t, x) ∈ R× Rn . Soit ϕ une solution de l’équation différentielle x′ = f(t, x) que l’on suppose définie sur l’intervalle I. 1. On pose N(t) = 〈ϕ(t), ϕ(t)〉. Montrer que l’application N est dérivable sur I, calculer sa dérivée et montrer qu’elle vérifie |N ′(t)| 6 2aN(t). 2. Soient t et t0 deux points de I. Comparer N(t) et N(t0). 3. Montrer que les solutions maximales de l’équation différentielle en considération sont définies sur R. 4. Montrer que les solutions maximales du système (S) { x′1(t) = 2x1(t) + tx2(t) + x 2 2(t) x′2(t) = −tx1(t) + x2(t)− x1(t)x2(t) sont définies sur R. Troisième partie Algèbre et géométrie 14 Généralités sur les groupes Exercice 447 Soit G un groupe et S une partie de G. 16 Isométries euclidiennes 60 1. Montrer que Gg(x) = gGxg−1, où g ∈ G et Gx désigne le stabilisateur du point x. 2. Si l’action ϕ est transitive et fidèle et G est abélien alors montrer que ϕ est simplement transitive. Exercice 460 Soit G =< γ1, γ2 > opère sur le plan complexe C où γ1 : z 7→ z + 1 et γ2 : z 7→ z + i. 1. Montrer que G ∼= Z2 et G agit isométriquement sur C. 2. Trouver un ensemble fondamental F pour cette action et l’ensemble d’orbites C/∼ = C/G = F/∼ en identifiant les points équivalents sur le bord de F . Exercice 461 1. Montrer que la quantité suivante (appelée forme de Killing) est un produit scalaire sur le groupe matriciel Mn(R). < X,Y >= tr (XTY ). X, Y ∈Mn(R) 2. Montrer que la forme de Killing reste invariante par rapport à l’action de O(n) par conjugaison : < gXg−1, gY g−1 > = < X,Y >, X, Y ∈Mn(R), g ∈ O(n). Exercice 462 Soient G un groupe et S un système de générateurs de G contenant avec chaque élément s son inverse s−1. Rappelons la construction du graphe de Cayley C(G,S). L’ensemble V des sommets de C(G,S) est en bijection avec l’ensemble des éléments deG. Deux sommets g1 et g2 sont joints par une arête si g−11 ·g2 = s ∈ S. La longueur de cette arête est déclarée par définition égale à 1. Un chemin l ⊂ C(G,S) entre deux sommets g et h est une succession finie d’arêtes {e1, ..., en} joignant g et h. La longueur |l| de l vaut par définition n : le nombre des arêtes qui le constituent. 1. Montrer que la fonction d : G×G 7→ N donnée par d(g, h) = inf{longueurs des chemins joignant g et h} est une distance et qu’il existe un chemin l ⊂ C(G,S) qui la réalise c.-à.-d. |l| = d(g, h). 2. Pour chaque g ∈ G posons |g| = d(0, g). Montrer que |g| = inf{k | g = si1 · ... · sik , sij ∈ S}. 3. Montrer queG agit isométriquement sur les sommets de C(G,S), c.-à.-d. ∀g ∈ G d(gγ1, gγ2) = d(γ1, γ2) où γi ∈ V (i = 1, 2). En déduire que d(f, h) = |f−1 · h| (f, h ∈ V ). 4. Soit F2 =< a, b > un groupe libre sur les générateurs a et b (voir l’exercice 455). Donner un fragment (initial) de son graphe de Cayley C(F2, {a, b}). 5. Démontrer que le graphe de Cayley d’un groupe libre est toujours un arbre (un graphe sans lacet s’appelle arbre). 16 Isométries euclidiennes Exercice 463 Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. 1. Montrer que A ∈ GL(E) appartient à O(n) si et seulement si TAA = I. 2. Montrer que si A ∈ O(n) alors detA = ±1. 3. Montrer que A ∈ U(n) si et seulement si TAĀ = I. Exercice 464 Soit L un espace hermitien. Est-il vrai que A ∈ IsoL implique Ax = Ux+ b avec U ∈ U(n). Exercice 465 Soit E est un espace euclidien de dimension n. Montrer que Iso(E) 6' O(n)× T (E). Exercice 466 Déterminer la nature des applications suivantes : R2 → R2, x 7→ Ax et R2 → R2, x 7→ Bx où A = ( cosϕ − sinϕ sinϕ cosϕ ) et B = ( cosϕ sinϕ sinϕ − cosϕ ) . Exercice 467 1. Notons l ⊂ R2 une droite affine et τl la réflexion par rapport à l. Montrer que si f ∈ Iso(R2) vérifie f|l ≡ id alors soit f = id soit f = τl. 2. Soient l et m deux droites affines dans R2. (a) Montrer qu’il existe α ∈ Iso(R2) telles que ατlα−1 = τm. (b) Montrer que τl.τm est une translation si et seulement si l et m sont parallèles. 16 Isométries euclidiennes 61 Exercice 468 Notons R(a, α) la rotation d’angle α autour du point a ∈ R2 et tb la translation tb : x 7→ x+ b. Montrer que 1. ∃ β ∈ Iso(R2) : βR(a, α)β−1 ∈ SO(2). 2. R(a, α) = τl · τm où m est une droite quelconque passant par a et l est une droite passant par a fixée. 3. tb et tc sont conjuguée ssi ||b|| = ||c||. Exercice 469 Une application du type G(l, a) = τl.ta s’appelle réflexion glissée si le vecteur a est parallèle à la droite l ⊂ R2. 1. Si G = τl.ta est une réflexion glissée alors montrer que τl.ta = ta.τl et G2 = t2a. 2. Montrer que G = τlta est une réflexion si l et a sont perpendiculaires et est une réflexion glissée si l et a ne sont pas perpendiculaires. 3. En regardant l’ensemble des points fixes fix(f) := {x ∈ R2|f(x) = x} d’une isométrie f ∈ Iso(R2) montrer que : (a) si fix(f) 6= ∅ alors f = R(a, α) ou f = τl (b) si fix(f) = ∅ alors f = ta ou f = G(l, a) (indication : utiliser la question 2. et l’exercice 468, question 2). Exercice 470 Notons l ⊂ R2 une droite affine de R2. 1. Montrer que l’ensemble Il des g ∈ Iso(R2) telles que g(l) = l est un sous-groupe de Iso(R). 2. Déterminer les translations qui appartiennent à Il. 3. Montrer que si g ∈ Il possède un point fixe alors g a un point fixe sur l. 4. Soit g ∈ Il , montrer qu’il existe une translation t de Il telle que g.t possède un point fixe. 5. Décrire Il. Exercice 471 Soit E un espace euclidien de dimension n et X = {x1, x2, ..., xk} un sous-ensemble de E. 1. Montrer que Aff(X) := { k∑ i=1 λixi|xi ∈ X, k∑ i=1 λi = 1} est le plus petit sous-espace affine de E contenant X. 2. Soit S = {x0, ..., xn} un sous-ensemble de E, montrer que S est un repère affine de E si et seulement si S n’est contenu dans aucun hyperplan. Dans toute la suite, on se place dans le plan affine euclidien R2. Exercice 472 Etudier la composée de deux rotations, puis la composée de deux réflexions glissées et finalement la composée d’une rotation et d’une réflexion glissée. Exercice 473 Soit f une application qui préserve les rapports de longueur : ∀x, y, z, t ∈ R2,on a : d(f(x),f(y))d(f(z),f(t)) = d(x,y) d(z,t) . (Par définition une telle application est une similitude) 1. Monter ∃k ∈ R+∗ tel que d(f(x), f(y)) = kd(x, y). 2. Montrer qu’un similitude s’écrit comme composée d’une homothétie et d’une isométrie. Exercice 474 Soit ABC un triangle isocèle en A non equilatéral, le but de cet exercice est d’étudier l’ensemble des isométries de P qui préservent globalement ABC. 1. Montrer que cet ensemble est groupe. 2. Montrer que si f préserve ABC alors f fixe le barycentre G de ABC. 3. En étudiant les distances GA, GB, GC montrer que f(A) = A 4. En déduire (en utilisant la classification des isométries de R2) le groupe de symétries de ABC. Exercice 475 (Étude des sous-groupes commutatifs d’isométries) Soient f , g deux isométries du plan affine euclidien R2. 1. Montrer que si g et f commutent alors g = f ◦ g ◦ f−1 et f conserve (globalement) l’ensemble des points fixes de g. 2. Décrire les cas dans lesquels f et g commutent (f ◦ g = g ◦ f). 3. En déduire une description des sous-groupes commutatifs d’isométries. 18 Géométrie et trigonométrie sphérique 62 17 Géométrie différentielle élémentaire de Rn Exercice 476 1. Soient ξ(t) et η(t) deux courbes paramétrées de R3 de classe C1, montrer que ddt [ξ, η] = [dξdt , η] + [ξ, dη dt ], où [, ] désigne le produit vectoriel. 2. Montrer que κ = −<r ′,[r′′,r′′′]> k2 , où s 7→ r(s) une courbe de classe C 2 paramétrée par sa longueur, κ et k sont respectivement sa torsion et sa courbure. Exercice 477 Pour la courbe r = (a cos t, a sin t, bt), a > 0, b > 0 trouver courbure, torsion et repère de Frenet. Exercice 478 1. Montrer qu’une courbe s 7→ r(s) est plane ssi < r′, [r′′, r′′′] >= 0. 2. Soit s 7→ r(s) une courbe de classe C2 paramétrée par sa longueur. On considère la nouvelle courbe s 7→ n(s) où n est le vecteur normal unitaire. Notons s∗ le paramètre naturel de cette courbe. Montrer que ds ∗ ds = √ k2 + κ2. Exercice 479 1. Montrer que si une courbe s 7→ r(s) est tracée sur une sphère de rayon R et si κ(s) 6= 0, k(s) 6= 0 (∀s) alors R2 =< r, r >= 1k2 (1 + (k′)2 (κk)2 )). 2. Soit s 7→ r(s) une courbe à courbure constante qui est tracée sur la sphère S2. Montrer que son image r est un arc de cercle. La propriété d’être à courbure constante dépend-t-elle de la paramétrisation de la courbe ? Exercice 480 1. Montrer que 3 points x, y et z sont colinéraires dans Rn avec y entre x et z (rappelons que ça signifie que y = x+ t(z − x) t ∈ [0, 1]) ssi ||x− y||+ ||y − z|| = ||x− z||. 2. Montrer que si γ : [a, b] 7→ Rn est une courbe alors |γ([a, b])| > ||γ(a) − γ(b)|| et que l’égalité a lieu ssi γ est une géodésique (où | · | désigne la longueur d’une courbe). 18 Géométrie et trigonométrie sphérique Exercice 481 Soit α : [a, b] → Sn une courbe avec b− a < π. Montrer l’équivalence des conditions suivantes : 1. α est une courbe géodésique. 2. Il existe deux vecteurs orthogonaux A,B ∈ Sn tels que α(t) = A cos(t− a) +B sin(t− a). 3. La courbe α vérifie l’équation α′′ + α = 0. Exercice 482 Soit Sn est la sphère unité dans l’espace linéaire E de dimension n+ 1. 1. Montrer que la distance sphérique induit sur Sn une topologie équivalente à celle induite de l’espace ambiant E. 2. Montrer que l’intersection d’un sous-espace linéaire L de E de dimension k avec Sn est une sphère de dimension k − 1 (si k = 2 cette intersection est un cercle appelée grand cercle de Sn). Exercice 483 Nous noterons [X,Y ] le produit vectoriel de deux vecteurs X et Y dans R3. Montrer que trois vecteurs X, Y, et Z dans R3 sont libres ssi les vecteurs [X,Y ], [Y,Z] et [Z,X] sont libres. Indication : Démontrer d’abord l’identité suivante : [[X,Y ], Z] =< X,Z > Y− < Y,Z > X Exercice 484 Soit T = 4ABC ⊂ S2 un triangle sphérique d’angles intérieurs α = ∠A, β = ∠B, γ = ∠C 1. Montrer qu’il existe un triangle T ′ = 4A′B′C ′ dit polaire tel que a′ = π − α, b′ = π − β, c′ = π − γ, où comme d’habitude on note a′, b′, c′ les longueurs des côtés opposés aux sommets A′, B′, C ′. Indication. Poser : C ′ = [A,B]||[A,B]|| , A ′ = [B,C]||[B,C]|| , B ′ = [C,A]||[C,A]|| 2. Montrer que (T ′)′ = sign(< A, [B,C] >) · T. En déduire que ∠A′ = π − a, ∠B′ = π − b, ∠C ′ = π − c, 21 Géométrie projective II : homographies de CP 1 65 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. On dit qu’une application linéaire A : E 7→ E conserve les angles si ∀x, y ∈ E∗ = E \ {0} : < (x, y) =< (Ax,Ay) où < (x, y) est l’angle entre deux vecteurs non-nuls (on a comme d’habitude cos(< (x, y)) = <x,y>||x||·||y|| ). 2. Soient γi : [a, b] 7→ Rn deux courbes de classe C1, telles que γ1(t0) = γ2(t0) et γ′i(t0) 6= 0 (i = 1, 2) pour un t0 ∈ [a, b]. On appelle angle entre deux courbes γ1 et γ2 au point t0 l’angle entre les vecteurs γ′1(t0) et γ′2(t0). 3. On dit qu’une application f : D 7→ Rn de classe C1 d’un ouvert D ⊂ Rn conserve les angles dans D si sa matrice dérivée conserve les angles entre toutes deux courbes de classe C1 dans D, c.-à.-d. : < ((f ◦ γ1)′, (f ◦ γ2)′)|t=t0 =< (γ′1(t0), γ′2(t0)). Exercice 502 Cet exercice ne concerne pas directement la géométrie projective mais sera utilisé par la suite. 1. Montrer que chaque réflexion par rapport à un hyperplan dans Rn est une application conforme dans Rn. En déduire que chaque isométrie euclidienne et chaque isométrie sphérique sont conformes dans Rn et sur Sn respectivement. 2. Montrer qu’une application linéaire A : E 7→ E conserve les angles non-orientés entre les vecteurs non-nuls ssi A est une matrice conforme. 3. Montrer qu’une application f : D 7→ Rn d’un ouvert D ⊂ Rn est conforme dans D ssi elle conserve les angles dans D. En utilisant la projection stéréographique on identifie la droite projective CP 1 avec la sphère C = C∪{∞} = S2. On dit qu’une application f : D → C d’un ouvert D de C est conforme au point f−1(∞) si l’application ϕ ◦ f est conforme en f−1(∞) où ϕ(z) = 1/z. On dit que f est conforme à l’infini si f ◦ ϕ est conforme en 0. Exercice 503 Démontrer que toute application de Möbius γ ∈M(2) est conforme sur C. 21.2 Propriétés des homographies de CP 1 Exercice 504 Rappelons qu’un cercle généralisé est soit un cercle euclidien Σ(zo, r) = {z ∈ C | |z − z0| = r} soit une droite à laquelle on ajoute le point {∞} (à l’aide la projection stéréographique). On note M = {az+bcz+d | a, b, c, d ∈ C, ad− bc 6= 0}. 1. Montrer que le groupe PGL2C agit trois fois transitivement sur C. 2. Vérifier que chaque cercle généralisé dans C s’écrit sous la forme : A(x2 + y2) +Bx+ Cy +D = 0, B2 + C2 > 4AD 3. Soit C1 ∈ C un cercle généralisé, alors montrer que un sous-espace C2 ⊂ C est un cercle généralisé ssi il existe γ ∈M telle que γ(C1) = C2. 4. Soit K ⊂ C un cercle généralisé et f ∈M(2) tel que f |K ≡ idK alors montrer que soit f ≡ id soit f est la réflexion par rapport à K. Exercice 505 Montrer que M(2) = {a2z + b2 c2z + d2 ; a1z + b1 c1z + d1 ∣∣∣ ai, bi, ci, di ∈ C ; aidi − bici 6= 0} et en déduire que |M(2) : M | = 2 où M = M+(2) est le groupe des transformations de Möbius paires. Exercice 506 Soit τΣ la réflexion par rapport au cercle euclidien Σ = {z ∈ C ||z − z0| = r} alors montrer que |τΣ(z)− τΣ(w)| = r2 |z − w| |z − z0||w − z0| Exercice 507 1. Montrer que chaque application g ∈M possède soit un point fixe dans C soit deux points fixes. Cette affirmation reste-t-elle vraie pour les éléménts de M(2) ? 2. Notons fix(g) l’ensemble {x ∈ C | g(x) = x} des points fixes de g. Montrer que si γ = fgf−1 alors fix(γ) = f(fix(g). 3. Soient Ci (i = 1, 2) deux cercles généralisés. Montrer que ∃ γ ∈ M : τC1 = γτC2γ−1, où τCi désigne l’inversion par rapport à Ci. Exercice 508 Soient Ci (i = 1, 2) deux cercles généralisés. Montrer que τC1 et τC2 commutent si et seulement si le cercle C1 est orthogonal à C2 (e.g. si Ci sont deux cercles euclidiens alors ils sont orthogonaux ssi les angles entre deux rayons aux points de l’intersection C1 et C2 sont égaux à π2 ). 22 Géométrie et trigonométrie hyperbolique 66 22 Géométrie et trigonométrie hyperbolique On notera H2 le plan de Poincaré dans l’un de deux modèles du disque ou du demi-plan, muni de la distance hyperbolique ρ. Exercice 509 1. Montrer que H2 est un espace métrique complet mais pas compact. 2. Dans le modèle du demi-plan on suppose que z, w sont deux points distincts dans H2, montrer que ρ(z, w) = | ln([z∗, z, w,w∗])|, où [z∗, z, w,w∗] désigne le birapport de quatre points, où z∗, w∗ sont les extrémités de la géodésique passant par z et w dans l’ordre indiqué sur le Figure 1 : Fig. 1 – Une géodésique Exercice 510 Soit 4abc un triangle dans H2 (c-à-d le sous-ensemble de H2 bordé par trois géodésiques dont les points de l’intersection sont a, b, c) d’angles intérieurs α, β, γ. On suppose que γ = π2 ; en utilisant les notations indiquées sur le Figure 2 démontrer les identités suivantes : 1. cosh c = cosh a · cosh b 2. th b = sinh a · tanβ 3. cosh a · sinβ = cosα Fig. 2 – Triangles géodésiques Exercice 511 Soient α, β, γ trois nombres positifs tels que 0 6 α, β, γ < π; α+ β + γ < π alors montrer qu’il existe un triangle hyperbolique d’angles intérieurs α, β, γ. Exercice 512 En utilisant le théorème du cours que la somme d’angles intérieurs d’un polygone convexe à n sommets dans H2 est inférieure à (n− 2)π démontrer que : 1. Soient θ1, θ2, ..., θn une collection ordonnée de nombres tels que 0 6 θi < π (i = 1, ..., n). Pour qu’il existe un polygone convexe d’angles intérieurs θi il faut et il suffit que θ1 + θ2 + ...+ θn < (n− 2)π. 2. Un polygone à n côtés et d’angles droits existe ssi n > 5. Exercice 513 1. Démontrer que chaque homographie non-triviale g ∈ M+(2) \ {id} possède soit un point fixe soit deux. Un élément g ∈ M+(2) est dit parabolique si son ensemble des points fixes : fix(g) = {x ∈ C | f(x) = x} est un singleton. Montrer qu’un élément est parabolique ssi il est conjugué dans M+(2) à la translation z 7→ z + 1. 2. Un élément f ∈M+(2) est dit elliptique s’il est conjugué dans M+(2) à une rotation z 7→ k · z où |k| = 1 , k ∈ C \ {1}. Un élément g ∈M+(2) est dit loxodromique s’il est conjugué dans M+(2) à z 7→ k · z où |k| 6= 1. De plus, un élément loxodromique est dit hyperbolique si k ∈ R∗+ \{1} ; un élément loxodromique est dit srtictement loxodromique si k = λ · eiθ, λ > 0 , θ 6= 2πm. Pour un élément g ∈ M+(2) on utilise la même lettre pour une de deux matrices dans SL2C qui le représentent (en fait c’est g ou −g). Montrer que pour tout élément g ∈M+(2) l’une des possibilités suivantes peut avoir lieu : (a) g est parabolique ssi tr2(g) = 4, où tr2 est la trace carré de la matrice g. (b) g est elliptique ssi tr2(g) ∈ [0, 4[. (c) g est hyperbolique ssi tr2(g) ∈]4,∞[. (d) g est strictement loxodromique ssi tr2(g) 6∈ [0,∞[. 3. En utilisant le modèle du demi-plan démontrer que les points fixes d’un élément parabolique ou hyperbo- lique se trouvent toujours sur le bord R de H2. En utilisant le modèle du disque démontrer qu’un élément elliptique a exactement un des deux points fixes dans H2. Exercice 514 Soit g ∈M une homographie. Montrer que 23 Séries entières 67 1. Si g est parabolique fix(g) = {x} alors ∀z ∈ C : lim n→±∞ gn(z) = x. 2. Si g est loxodromique et fix(g) = {x, y} alors ∀z ∈ C \ {y} : lim n→+∞ gn(z) = x, et le point x est dit point fixe attractif de g. ∀z ∈ C \ {x} : lim n→+∞ g−n(z) = y, et le point y est dit point fixe répulsif de g. Exercice 515 Montrer que si un élément g ∈M n’est pas strictement loxodromique conjugué à z → keiθ (θ 6= π + πm, k > 0) alors il existe deux familles Ci (i = 1, 2) de cercles généralisés vérifiant les conditions suivantes : 1. ∀ C ∈ C1 : g(C) = C 2. ∀ C ∈ C2 : g(C) = C2 \ {C} 3. ∀ C1 ∈ C1, ∀ C2 ∈ C2 : C2 ⊥ C1. De plus, si g ∈M est strictement loxodromique conjugué à z → keiθ (θ 6= π + πm, k > 0) alors montrer que g n’a pas de cercle invariant. Quatrième partie Analyse complexe 23 Séries entières Exercice 516 Pour tout z ∈ C, on définit exp(z) = ∑∞ n=0 1 n!z n. 1. Montrer que la fonction exp est continue et vérifie : exp(0) = 1; ∀a, b ∈ C, exp(a+ b) = exp(a). exp(b). 2. On note e = exp(1) et f(z) = exp(z) = ez. Etablir les résultats suivants : (a) ∀z ∈ C, ez 6= 0. (b) f ′(z) = f(z). (c) f|R est croissante, positive, tend vers +∞ quand x→ +∞, tend vers 0 quand x→ −∞. (d) Il existe un nombre positif π tel que ei π 2 = i et tel que ez = 1 ssi z ∈ 2iπZ. (e) f est périodique de période 2iπ. (f) t→ eit est une surjection de R sur le cercle unité. (g) f(C) = C∗. Exercice 517 Trouver le domaine maximal de convergence des séries entières suivantes : (1) ∞∑ n=1 zn n , (2) ∞∑ n=0 (2z)n cosnθ, (3) ∞∑ n=0 zn 2 . Exercice 518 Développer en série entière les fonctions suivantes et préciser le domaine maximal de convergence (a, b 6= 0) : f(z) = 1 1 + z + z2 , g(z) = 1 (a− z)(b− z) , h(z) = z sin a z2 − 2(cos a)z + 1 . Exercice 519 Développer en série entière sur R : f(x) = e− x 2 2 ∫ x 0 e t2 2 dt. 24 Fonctions holomorphes 70 Exercice 540 Soit f la fonction définie sur C par{ f(z) = e−1/z 4 si z 6= 0 f(0) = 0 Montrer que f vérifie les équations de Cauchy-Riemann en tout point de C mais n’est pas holomorphe dans C. Exercice 541 Soit Ω un ouvert connexe de C et f une fonction holomorphe sur Ω. On désigne par P et Q respectivement ses parties réelle et imaginaire. On suppose qu’il existe des constantes réelles non toutes nulles a, b et c telles que la fonction aP + bQ+ c soit identiquement nulle sur Ω. Montrer que f est constante sur Ω. Exercice 542 Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert Ω, u sa partie réelle et v sa partie imaginaire. On suppose que les dérivées partielles secondes de u et v existent et sont continues sur Ω. Montrer que u (resp. v) est harmonique (c’est-à-dire ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0). Exercice 543 On dit que deux fonctions réelles u(x, y) et v(x, y) sont conjuguées harmoniques si elles vérifient les équations de Cauchy-Riemann. 1. Montrer que si u et v sont conjuguées harmoniques, alors u et v sont harmoniques. 2. Trouver les conjuguées harmoniques des fonctions harmoniques suivantes dans les ouverts indiqués : (a) u(x, y) = x2 − y2 + x sur C (b) u(x, y) = xx2+y2 sur C \ {0} (c) u(x, y) = 12 ln (x 2 + y2) sur i. C \ {x+ iy| y = 0, x 6 0} ii. C \ {0} Exercice 544 Trouver des domaines de définition Ω (le plus grand possible) et des fonctions holomorphes f = u+ iv sur Ω étant donné la partie réelle u ou la partie imaginaire v. 1. u = x2 − y2 + 5x+ y − yx2+y2 2. u = ex(x cos y − y sin y) + 2 sinx sh y + x3 − 3xy2 + y 3. v = ln (x2 + y2) + x− 2y Exercice 545 Soit f(z) = u+iv une fonction holomorphe dans un ouvert connexe Ω. Montrer que les familles de courbes u(x, y) = c1 et v(x, y) = c2 sont orthogonales ; plus précisément, montrer qu’en tout point d’intersection z0 = x0 + iy0 de deux de ces courbes tel que f ′(z0) 6= 0, leurs tangentes respectives sont perpendiculaires. Exercice 546 Montrer que si f(z) est holomorphe dans un ouvert connexe Ω et si f ′(z) 6= 0 en tout point de Ω, alors la transformation w = f(z) conserve les angles. Exercice 547 1. Montrer les inégalités suivantes, pour tout z ∈ C, |ez − 1| 6 |z|e|z| et |ez − 1− z| 6 |z| 2 2 e|z| 2. Soit K un compact inclus dans C, f une fonction continue sur K et (fn)n>1 une suite de fonctions définies sur K convergeant uniformément vers f sur K. Montrer que (exp fn)n>1 tend vers exp f uniformément sur K (on pourra appliquer la première inégalité de a) à fn(z)− f(z) ). 3. Montrer que (( 1 + zn )n) n>1 tend vers ez uniformément sur tout compact de C. Exercice 548 1. Soient ρ un réel strictement positif, z et w des nombres complexes tels que |z| > ρ et |w| > ρ, et n un entier naturel. Montrer que ∣∣∣∣ 1wn − 1zn ∣∣∣∣ 6 |z − w| nρn+1 et que ∣∣∣∣ 1z − w ( 1 wn − 1 zn ) − n zn+1 ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ n∑ k=1 ( 1 wn − 1 zn ) 1 zn−k+1 ∣∣∣∣∣ 6 |z − w| n2ρn+2 Soient maintenant σ et φ deux fonctions continues à valeurs complexes définies sur un intervalle I = [a, b]. On fixe un point z ∈ C \ σ(I) et on pose ρ = 12 infa6t6b |σ(t)− z|. 25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances 71 2. Soit g(z) = ∫ b a φ(t) (σ(t)− z)n dt. En remplaçant dans a) z par σ(t) − z et w par σ(t) − z − h avec |h| < ρ, montrer que ∣∣∣∣∣g(z + h)− g(z)h − n ∫ b a φ(t) (σ(t)− z)n+1 dt ∣∣∣∣∣ 6 |h|n2ρn+2 ∫ b a |φ(t)|dt En déduire que g(z) est holomorphe sur C \ σ(I) et que g′ est donnée par g′(z) = n ∫ b a φ(t) (σ(t)− z)n+1 dt 25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances Exercice 549 Montrer qu’il n’existe pas de détermination holomorphe du logarithme de z sur C\{0} tout entier. (On raisonnera par l’absurde et on exhibera ainsi une application continue injective du cercle unité dans R). Exercice 550 Soit Logz la détermination principale du logarithme dans C\R−, ie Logz = Ln|z| + iArgz où |Argz| < π, et on définit zα = eαLogz 1. On considère z = e 2iπ 3 ; comparer Log(z2) et 2Logz. 2. On considère z = e 3iπ 4 ; comparer z2i, (z2)i et (zi)2. Exercice 551 On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour 0 < t < 2π ∞∑ 1 cosnt n , ∞∑ 1 sinnt n . 1. Rappeler pourquoi S(z) = − ∑ n>1 zn n coincide sur D avec la détermination principale Log(1− z). 2. Soit r < 1 ; calculer ∑ n>1 rn cosnt n et ∑ n>1 rn sinnt n . 3. En déduire la valeur de ces sommes (on pourra utiliser le théorème d’Abel). Exercice 552 Soit Ω un ouvert connexe de C et f une fonction complexe sans zéro sur Ω. On rappelle que f admet un logarithme continu (resp. holomorphe) sur Ω s’il existe une fonction g continue (resp. holomorphe) sur Ω telle que eg(z) = f(z). Montrer que deux déterminations continues du logarithme de f sur Ω diffèrent d’une constante 2kiπ. En reproduisant la démonstration du théorème d’inversion locale, montrer que si f admet sur Ω un logarithme continu, elle y admet un logarithme holomorphe. Exercice 553 On rappelle qu’une fonction complexe f a une racine nième holomorphe dans un ouvert connexe Ω s’il existe g ∈ H(Ω) telle que gn(z) = f(z). 1. Montrer que si f admet un logarithme holomorphe dans Ω, elle y admet des racines de tous ordres ; montrer, sur un exemple, qu’une fonction holomorphe f peut admettre une racine sans admettre de logarithme (holomorphe). 2. Si g1, g2 sont deux fonctions continues de Ω connexe dans C\{0}, telles que gn1 = gn2 pour un entier n > 1, montrer que g1 = e 2iπk n g2 où k est un entier et g1 = g2 dès que les fonctions coincident en un point. Exercice 554 1. Montrer que Re(cos z) > 0 si |Re z| < π2 . En déduire une détermination holomorphe du logarithme de cos z dans {|Re z| < π2 }. 2. Montrer que l’on peut définir une fonction holomorphe f(z) = Log 1+iz1−iz sur l’ouvert U = C\S où S = {ix ; |x| > 1}. 3. Montrer que l’on peut définir une fonction holomorphe f(z) = Log √ z3 − 1 sur un ouvert U à déterminer (où √ désigne la détermination principale de la racine). Exercice 555 1. Soit Ω = C\[−1, 1] ; montrer que la fonction g(z) = exp( 1 2 Log(z + 1) + 1 2 Log(z − 1)) se prolonge en une fonction continue sur Ω et fournit ainsi une racine carrée holomorphe de z2 − 1 dans Ω, bien que Log(z2 − 1) n’ait pas de prolongement continu à Ω. 25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances 72 2. Construire de même une racine carrée holomorphe de z2 + 1 sur l’ouvert connexe Ω′C\[−i, i]. Exercice 556 Montrer que Arg(x+ iy) =  arctan ( y x ) si x > 0 π 2 − arctan ( x y ) si y > 0 −π2 − arctan ( x y ) si y < 0 En déduire que la fonction Arg est R-différentiable sur l’ouvert Ω Ω = R2 \ {(x, y)| y = 0, x 6 0} et calculer sa différentielle. Exercice 557 Soit w dans C. Déterminer les nombres complexes z tels que cos z = cosw. Même question avec le sinus. Exercice 558 Si z = x+ iy avec x et y réels, montrer que l’on a | sin z|2 = sin2 x+ sh2 y | cos z|2 = cos2 x+ sh2 y En déduire les zéros de sin z et cos z dans C. Exercice 559 Montrer que la fonction f(z) = tan z définie par tan z = sin zcos z réalise une bijection de T = {z ∈ C| − π/2 < <ez 6 π/2, z 6= π/2} sur C \ {−i, i}. On pourra écrire f = f4 ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1 avec f1(z) = 2iz, f2(z) = ez, f3(z) = 1−z1+z , f4(z) = iz. Exercice 560 Résoudre les équations ez = −3, cos z = 2, sin z = 2, tan z = 2i, ch z = 1/2 de la manière suivante : 1. en identifiant les parties réelles et imaginaires 2. en utilisant le logarithme Exercice 561 1. En utilisant la détermination principale du logarithme, on définit les fonctions z 7→ z1/2, z 7→ (1− z)1/3, z 7→ ((1− 2i)z)2i/5. Donner leur domaine de définition. 2. Soit n ∈ N. Soit f une détermination continue de z1/n. Montrer que f(z)n = z sur son domaine de définition. Exercice 562 On considère f(z) = √ z2 = (z2)1/2 définie à l’aide de la détermination principale du logarithme. 1. Trouver le domaine de définition et donner une expression explicite de f . 2. Peut-on prolonger f par continuité sur un ouvert plus grand ? 3. Mêmes questions en prenant la détermination logz = Log z + 2iπ. Exercice 563 On définit à l’aide de la détermination principale du logarithme les fonctions f1(z) = (z3−1)1/2, f2(z) = (z − 1)1/2(z − j)1/2(z − j2)1/2, et f3(z) = (1− z)1/2(iz − ij)1/2(iz − ij2)1/2, où j = eiπ/3. 1. Trouver les domaines de définition des fk et montrer que l’on a toujours fk(z)2 = z3 − 1. 2. Montrer que l’on peut prolonger f3 par continuité sur un ouvert plus grand. Exercice 564 On veut démontrer qu’il existe une détermination continue f de √ 1− z2 sur U = C \ [−1, 1] telle que f(i) = √ 2. 1. Définir f sur C \ ]−∞, 1] au moyen des fonctions Arg(z + 1) et Arg(z − 1). 2. Soit x un réel strictement inférieur à 1. Etudier limy→0 f(x+ iy) quand y tend vers 0 par valeurs positives puis négatives. Conclure. 3. Montrer qu’on obtient ainsi une application f telle que f(U) ⊂ U et f ◦ f = −Id|U. En déduire que f est une bijection de U sur lui-même. 26 Formule de Cauchy 75 Exercice 576 1. Montrer que ∫ 2π 0 ere it dt est indépendant de r > 0. 2. Montrer que ∫ 2π 0 Log (1− reit) dt est indépendant de r ∈ ]0, 1[ (Log désigne la branche principale du logarithme sur C \ ]−∞, 0]). Exercice 577 Calculer de deux manières ∫ γ dz z où γ(t) = a cos t+ ib sin t (t ∈ [0, 2π], a, b ∈ R ∗ +) et en déduire la valeur de l’intégrale ∫ 2π 0 dt a2 cos2 t+ b2 sin2 t Exercice 578 Soient f et g deux fonctions holomorphes sur un ouvert connexe Ω contenant le disque unité fermé et γ(t) = eit (t ∈ [0, 2π]). Montrer que 1 2iπ ∫ γ ( f(z) z − a + ag(z) az − 1 ) dz = { f(a) si |a| < 1 g(1/a) si |a| > 1 Exercice 579 Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert Ω contenant D(a, r). Montrer que f(a) = 1 2π ∫ 2π 0 f(a+ reiθ) dθ (propriété de la moyenne). Exercice 580 Soit f une fonction continue dans le secteur {z ∈ C| − α 6 Argz 6 α} On suppose que zf(z) tend vers A ∈ C quand |z| tend vers l’infini, z restant dans ce secteur. Notons CR la partie du cercle de centre 0 et de rayon R contenue dans ce secteur. Montrer que lim R→+∞ ∫ CR f(z)dz = 2iαA Exercice 581 1. Soit C ⊂ C une courbe orientée C1 et fermée. Soit γ un chemin C1 d’origine a et d’extrémité b, tels que a et b ne soient pas des points de C. On suppose que l’intersection de C et γ est constituée d’un nombre fini de points m1, . . . ,mn et que les tangentes à C et à γ sont distinctes en ces points. Soit εi = 1 si l’angle de la tangente à γ avec la tangente à C en mi est entre 0 et π, εi = −1 sinon. Montrer que ∑ i εi = IndC(a)− IndC(b) où IndC(z) désigne l’indice de z par rapport à C. 2. Calculer l’indice du point z = 34 par rapport à la courbe dont l’équation en coordonnées polaires est r = cos θ3 avec 0 6 θ 6 3π, parcourue dans le sens des θ croissants. Exercice 582 On considère la série entière L(z) = ∑ n>1 zn n2 Soit f(z) = −Log (1−z)z où Log désigne la détermination principale du logarithme complexe. 1. On note U = C \ [1,+∞[. Montrer que f est définie dans U . 2. Vérifier que si D = {z ∈ C| |z| < 1}, on a L′(z) = f(z). 3. En déduire qu’il existe une primitive de f , définie dans U tout entier, dont la restriction à D est égale à L. On note cette primitive L par abus de langage. 4. Soit x ∈ R, x > 1. Calculer limy→0 L(x+ iy)− L(x− iy) comme fonction de x. Exercice 583 1. Soit P un polynôme qui ne s’annule pas sur le cercle |z| = 1. Montrer que le nombre de zéros de P à l’intérieur du cercle unité est 1 2π [ ArgP (eiθ) ]2π 0 (variation d’une détermination continue de l’argument sur le cercle unité). On utilisera le théorème de d’Alembert pour factoriser P en facteurs de degré 1, puis on considèrera l’indice de chacune des racines par rapport au cercle. 27 Conséquences de la formule de Cauchy 76 2. Soit P un polynôme n’ayant aucun zéro sur le cercle |z| = 1 et ayant exatement k racines (comptées avec multiplicité) à l’intérieur du cercle unité. Montrer que la fonction θ 7→ <eP (eiθ) s’annule au moins 2k fois pour θ ∈ [0, 2π] (indication : étudier les zéros de la fonction cos ArgP (eiθ), où Arg est une détermination continue de l’argument). Exercice 584 1. Montrer qu’il existe sur C\[−1, 1] une détermination holomorphe de (z2−1)−1/2 qui prend la valeur 1 pour z = √ 2. Unicité ? On désignera par f cette détermination. 2. Pour z ∈ C \ R, on désigne par γz le segment ]0, z] orienté de 0 vers z et on pose F (z) = ∫ γz f(ζ) dζ. (a) Montrer que F est holomorphe sur C \ R (quelle en est la dérivée F ′ ?). (b) Etudier limz′→z F (z′) lorsque z ∈ R \ [−1, 1]. (c) En déduire que f n’a pas de primitive sur C \ [−1, 1]. 27 Conséquences de la formule de Cauchy Exercice 585 1. Soit f une fonction entière telle que |f(z)| 6 1 + e|z| sin |z| pour tout z. Montrer que f est une constante. 2. Soit f ∈ H(D) telle que |f(z)|(1− |z|) 6 1 pour z ∈ D. Montrer que pour tout n |an| < e(n+ 1). Exercice 586 Soit f une fonction holomorphe dans C tout entier et soit γR un paramétrage du cercle C(0, R), R > 0. Calculer pour |z| < R : z2iπ ∫ γR f(w) w(w−z) dw ; en déduire que si supR ∫ 2π 0 |f(Reit)| dt <∞, f est constante. Quel théorème retrouve-t-on ? Exercice 587 Soit f un polynôme de degré n > 0, supposé sans zéros dans C, et γR le cercle centré en 0, de rayon R. Calculer IR = 12iπ ∫ γR nf(z)−zf ′(z) zf(z) dz, et trouver sa limite lorsque R → +∞. Quel théorème retrouve-t-on ? Exercice 588 Soit f une fonction entière telle que |f(z)| → +∞ quand |z| → +∞. 1. Montrer que f n’a qu’un nombre fini de zéros dans C notés z1, . . . zk. 2. En déduire que f est un polynôme. (Pour cela considérer f(z)/P (z) = g(z) où P (z) = (z− z1) · · · (z− zk) et montrer que 1/g est entière) . Exercice 589 Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert connexe Ω contenant 0. Montrer que : 1. Si f( 1n ) = 1 n+1 pour n assez grand alors f(z) = z z+1 sur Ω ∩D(0, 1). 2. Si f( 1n ) = f( 1 2n ) pour n assez grand alors f est constante sur Ω. 3. Si f( 1n ) = f( 1 n+1 ) pour n assez grand alors f est constante sur Ω. 4. f( 1n ) = 2 −n pour n assez grand est impossible. Exercice 590 On considère la série entière ∑∞ 0 2 nzn. Calculer sa somme f dans son disque de convergence. Trouver le plus grand ouvert connexe de C sur lequel f se prolonge en une fonction holomorphe. Donner le développement en série de f au point z = −1/4 et le rayon de convergence de cette série. Exercice 591 Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert connexe Ω sur lequel elle ne s’annule pas. Alors sont équivalentes : (i) Il existe une détermination holomorphe du logarithme de f sur Ω. ii) ∫ γ f ′(z) f(z) dz = 0 pour toute γ une courbe fermée dans Ω de classe C 1 par morceaux. (iii) f ′ f admet une primitive sur Ω. Exercice 592 Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert connexe Ω. On va montrer l’équivalence entre (i) f admet un logarithme holomorphe dans Ω. (ii) f admet des racines de tous ordres holomorphes dans Ω. On a vu que (i) implique (ii). Supposons maintenant que (ii) est vérifié : pour chaque n on note fn la fonction de H(Ω) telle que fnn (z) = f(z) si z ∈ Ω. 27 Conséquences de la formule de Cauchy 77 1. Soit a un zéro de f ; que peut-on dire de la multiplicité de a ? En déduire que f ne s’annule pas sur Ω. 2. Soit γ une courbe fermée dans Ω de classe C1 par morceaux. On pose I = 12πi ∫ γ f ′(z) f(z) dz, et In = 1 2πi ∫ γ f ′n(z) fn(z) dz. Montrer que I et In sont des entiers, I = nIn, puis que I = 0. Conclure. Exercice 593 Soit f une fonction entière ; on pose, pour r ∈ R∗+, M(r) = sup |z|=r |f(z)| 1. On suppose qu’il existe p ∈ N tel que lim r→+∞ M(r) rp+1 = 0 Montrer qu’alors f est un polynôme de degré au plus p. 2. On suppose qu’il existe R > 0, K > 0 et p ∈ N tels que |z| > R =⇒ |f(z)| 6 K|z|p Montrer qu’alors f est un polynôme de degré au plus p. Montrer que si de plus R = 0 alors f est un monôme de degré p. 3. En déduire que si f vérifie ∀z ∈ C, |f ′(z)| 6 |z| alors f est de la forme f(z) = a+ bz2 avec |b| 6 1/2. Exercice 594 Soit f(z) = ∑ n>0 anz n une série entière de rayon de convergence R > 0. Pour r < R, soit γr : t 7→ reit, t ∈ [0, 2π] et I(r) = 1 2iπ ∫ γr |f(z)|2 dz z . 1. Montrer que I(r) = ∑+∞ n=0 |an|2r2n. 2. En déduire une nouvelle démonstration des inégalités de Cauchy et montrer que si f n’est pas un monôme, ces inégalités sont strictes. 3. En considérant f(z) = 1/(1− z)2, montrer que pour r < 1, 1 2π ∫ 2π 0 dt (1− 2r cos t+ r2)2 = +∞∑ n=1 n2r2n−2. Exercice 595 Soit f une fonction holomorphe dans le disque unité ouvert D vérifiant ∀z ∈ D, |f(z)| < 1 1− |z| . Montrer que les coefficients an du développement f(z) = ∑ n>0 anz n vérifient ∀n > 1, |an| < (n+ 1) ( 1 + 1 n )n < (n+ 1)e et a0| < e. Exercice 596 Montrer qu’une fonction entière admettant 1 et i comme périodes est constante. Exercice 597 Soit f une fonction entière non constante ne s’annulant pas. Montrer que ∀ε > 0, ∀r > 0, ∃z ∈ C, |z| > r et |f(z)| < ε Application : tout polynôme non constant admet un zéro dans C (théorème de d’Alembert). Exercice 598 Déterminer toutes les fonctions f holomorphes dans le disque D(0, R) = {z ∈ C| |z| < R} telles que ∀z ∈ D(0, R 2 ), f(z) = f(2z). Exercice 599 On considère la série entière f(z) = ∑ n>1 zn n . 28 Singularités 80 Exercice 612 Soit D le disque unité ouvert et f une fonction holomorphe de D dans D. On suppose que f admet au moins deux points fixes, c’est-à-dire qu’il existe a et b dans D , a 6= b, tels que f(a) = a et f(b) = b. Montrer que f est l’identité de D. On pourra utiliser l’application Φa définie dans l’exercice 610 pour se ramener au cas où l’un des points fixes est 0. Exercice 613 Soit D le disque unité ouvert. On dira qu’une fonction E est unitaire si elle est holomorphe dans D, continue sur D et si |f(z)| = 1 si |z| = 1. 1. Montrer qu’une fonction unitaire dans D n’a qu’un nombre fini de zéros. Montrer qu’une fonction unitaire sans zéro est une constante. Montrer qu’une fonction unitaire ayant les points a1, a2, . . . , an pour zéros (chacun étant compté avec son ordre de multiplicité) s’écrit E(z) = c n∏ j=1 z − aj 1− ajz . 2. Soit f holomorphe sur D et non identiquement nulle et supposons qu’il existe M > 0 tel que |f(z)| 6 M sur D. Soit E une fonction unitaire dans D et telle que f(z)/E(z) soit holomorphe dans D. Montrer que l’on a ∀z ∈ D, |f(z)| 6 M |E(z)|. Soit a1, a2, . . . , an, . . . la suite des zéros de f dans D, chacun étant compté avec son ordre de multiplicité. Montrer que ∀n > 1, |f(0)| 6 M |a1||a2| · · · |an|. En déduire que si f(0) 6= 0, la série ∑ n>1(1− |an|) converge. Exercice 614 Soit f une fonction entière telle que |f(z)| = 1 si |z| = 1. Soit D le disque unité fermé. 1. Supposons que f n’a pas de zéros dans D. Montrer qu’il existe k ∈ C tel que f(z) = k pour tout z de C. 2. Soit a1, . . . , an (pourquoi un nombre fini ?) les zéros de f dans D , chacun étant compté avec son ordre de multiplicité. En étudiant la fonction g(z) = f(z) n∏ j=1 1− ajz z − aj montrer qu’il existe k ∈ C, |k| = 1, et n ∈ N tels que f(z) = kzn. Exercice 615 (Théorème des trois cercles d’Hadamard) Soit f une fonction holomorphe dans un do- maine contenant la couronne fermée constituée par les z ∈ C tels que r1 6 |z| 6 r2 (où 0 < r1 < r2). On pose M(r) = max|z|=r |f(z)| pour r1 6 r 6 r2. 1. Montrer qu’il existe un nombre réel α tel que rα1M(r1) = r α 2M(r2). 2. Montrer que M(r) 6 M(r1) ln r2−ln r ln r2−ln r1M(r2) ln r−ln r1 ln r2−ln r1 (on appliquera le principe du maximum à la fonction zpf(z)q où p ∈ Z et q ∈ N∗, puis on considèrera une suite (pn, qn), pn ∈ Z et qn ∈ N∗, telle que limn→∞ pn/qn = α). 28 Singularités Exercice 616 Montrer que la fonction f définie sur C∗ par f(z) = z sin z + i sinh z se prolonge en une fonction holomorphe en 0 ; quel est le rayon de son développement en 0 ? Exercice 617 1. Déterminer les développements en série de Laurent de f(z) = 11−z2 + 1 3−z dans les domaines D = D(0, 1), C1 = {1 < |z| < 3} puis C2 = {|z| > 3}. 2. Déterminer les développements en série de Laurent de f(z) = zz−1e z dans les domaines C1 = {|z| < 1} puis C2 = {|z| > 1}. 28 Singularités 81 Exercice 618 Soit α ∈ R. Montrer que le développement en série de Laurent en 0 de la fonction f(z) = expα2 (z + 1 z ) est de la forme a0 + ∑ n>1 an(z n + 1zn ), où a0 = 1 2π ∫ 2π 0 exp(α cos t) dt, an = 1 2π ∫ 2π 0 exp(α cos t) cos(nt) dt si n > 1. (Calculer f pour |z| = 1 et conclure avec le prolongement analytique.) Exercice 619 Développer les fonctions suivantes en série de Laurent dans chacun des ouverts donnés 1. f(z) = 1 (z − 1)(z − 2) dans |z| < 1 ; 1 < |z| < 2 ; 2 < |z| ; 2. f(z) = 1 (z − a)k (k ∈ N∗) dans |z| < |a| et dans |z| > |a| ; 3. f(z) = 1 z(z − a) dans 0 < |z| < |a| et dans |a| < |z| ; 4. f(z) = 1 (z − a)(z − b) (0 < |a| < |b|) dans 0 < |z| < |a| ; |a| < |z| < |b| ; |b| < |z| ; 5. une détermination holomorphe f de [(z − a)(z − b)] 12 (0 < |a| = |b|) dans 0 < |z| < |a| ; |b| < |z| ; 6. f(z) = z2 exp (z−1) dans 0 < |z|. 7. f(z) = exp (z + z−1) dans 0 < |z|. 8. f(z) = sin z · sin ( z−1 ) dans 0 < |z|. 9. f(z) = cotanz dans kπ < |z| < (k + 1)π (k ∈ N) on pourra exprimer le résultat en fonction des nombres Bn de Bernoulli, définis par : z exp (z)− 1 = ∑ n>0 Bn zn n! (B0 = 1, B1 = −1/2, et B2n+1 = 0 pour n > 1). Exercice 620 Déterminer la couronne de convergence des séries de Laurent ∑ n∈Z a |n|zn, ∑ n∈Z |n|!zn, ∑ n∈Z R(n)z n (R fonction rationnelle sans pôles dans Z). Exercice 621 Soit un ouvert U de C et f une fonction définie sur U admettant en tout point a de U un développement de Laurent f(z) = ∑ n>ra cn(z − a)n (ra ∈ Z) convergeant dans un disque pointé 0 < |z − a| < Ra. Montrer que pour tout compact K ⊂ U , il existe une fonction rationnelle gK nulle à l’infini et telle que la fonction f − gK soit holomorphe sur un voisinage de K (f est dite méromorphe sur U). Exercice 622 Déterminer les points singuliers des fonctions suivantes, puis donner la nature de ces points singuliers (singularité effaçable, pôle d’ordre n, singularité essentielle isolée, accumulation de points singuliers). 1. z 7→ 1 z(z2 + 4)2 2. z 7→ 1 exp (z)− 1 − 1 z 3. z 7→ sin 1 1− z 4. z 7→ exp z 1− z 5. z 7→ cotanz − 1 z 29 Intégrales curvilignes 82 6. z 7→ cotan1 z 7. z 7→ 1 sin z − sin a 8. z 7→ sin ( 1 sin 1z ) 9. z 7→ exp ( tan 1 z ) Exercice 623 Exhiber des fonctions n’ayant dans le plan complexe que les singularités suivantes : 1. un pôle triple en 0, un pôle simple en 1 et un point singulier essentiel en i et −i. 2. un point singulier essentiel en tout entier. Exercice 624 Déterminer les singularités isolées a des fonctions f suivantes et calculer Res(f, a). 1.z 7→ 1 z3 − z5 2. z 7→ z 2 (z2 + 1)2 3. z 7→ exp (z + z−1) 4. z 7→ sin (2z) (z + 1)3 5. z 7→ cos ( z2 + 4z − 1 z − 3 ) 6. z 7→ zn sin (1 z ) Exercice 625 Soit U un ouvert simplement connexe de C, f une fonction holomorphe sur U \ S où S est une partie fermée discrète de U . Montrer que f a une primitive sur U \ S si et seulement si pour tout point s de S, le résidu de f au point s est nul. Exercice 626 Calculer les intégrales suivantes, où les chemins fermés simples γ sont parcourus dans le sens direct. 1. ∫ γ z (z − 1)(z − 2)2 dz où γ est le cercle |z − 2| = 12 ; 2. ∫ γ exp z z2(z − 9)2 dz où γ est le cercle |z| = 1 ; 3. ∫ γ exp ( 1 z ) dz où γ est le cercle |z| = 1 ; 4. ∫ γ sin2 ( 1 z ) dz où γ est le cercle |z| = r ; 5. ∫ γ (z2 + z + 1)−1/2 dz où γ est le cercle |z| = r 6= 1. 29 Intégrales curvilignes Exercice 627 Calculer ∫ C (x + 2y) dx + (y − 2x) dy le long de l’ellipse C définie par x = 4 cos θ, y = 3 sin θ, 0 6 θ 6 2π. Exercice 628 Calculer ∫ C (z2 + 3z) dz le long des chemins suivants : 1. le cercle |z| = 2 du point (2,0) au point (0,2) 2. le segment de droite joignant les points (2,0) et (0,2) 3. le contour polygonal formé par les segments de droite joignant (2,0) à (2,2) et (2,2) à (0,2) Exercice 629 Calculer ∫ C dz (z−a)n pour n = 1, 2, 3 . . . , où C est un cercle de centre a. Exercice 630 Soit P (x, y) et Q(x, y) des fonctions continues à valeurs réelles et à dérivées partielles continues sur un ouvert connexe Ω et sur sa frontière C. La formule de Green établit que∫ C Pdx+Qdy = ∫ ∫ Ω ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy 30 Théorème des résidus 85 Exercice 645 (Calcul de transformées de Fourier) 1. Calculer la transformée de Fourier de 1 1 + x4 en intégrant e itz 1+z4 sur un demi-cercle dans un demi-plan bien choisi. 2. Calculer I(m,a) = ∫ +∞ 0 cosmx (1 + x2)(x2 + a2) dx en distinguant les cas a = 1, a 6= 1. Vérifier que I(m, 1) = lima→1 I(m,a). En déduire sans nouveaux calculs la valeur de ∫ +∞ 0 x sinmx (1 + x2)2 dx. Exercice 646 Soit P et Q deux polynômes tels que degQ > degP . 1. Exprimer ∑ Res(PQ ) à l’aide des coefficients de P et Q. 2. Soit P (z) = zn + ∑n−1 0 akz k un polynôme dont toutes les racines sont dans D(0, R). Montrer que f(x) = 1 2iπ ∫ ΓR exz P (z) dz est la solution de l’équation différentielle d’ordre n, y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a0y = 0 de condition initiale y(j)(0) = 0 si j < n− 1 et y(n−1)(0) = 1. Exercice 647 Calculer 1. ∫ 2π 0 dt a+ cos t (a > 1) ; 2. ∫ 2π 0 dt (a+ b cos t)2 (a > b > 0) ; 3. ∫ 2π 0 cos3 3t 1− 2a cos t+ a2 dt (a ∈ C \ {±1}) ; 4. ∫ 2π 0 exp (cos t) cos (nt− sin t) dt (n ∈ Z). Exercice 648 Dans cet exercice, on justifiera soigneusement chaque passage à la limite. Calculer les intégrales : 1. ∫ +∞ −∞ 1 1 + x6 dx 2. ∫ +∞ 0 1 xα(1 + x) dx , 0 < α < 1 3. ∫ +∞ 0 sin2 x x2 dx (on pourra considérer la fonction 1− e2ix x2 ) 4. ∫ +∞ −∞ cosx ex + e−x dx (on pourra utiliser le rectangle de sommets −R, R, R+ iπ, −R+ iπ) 5. ∫ +∞ 0 Log2 x 1 + x2 dx 6. ∫ +∞ 0 Log x (1 + x)3 dx Exercice 649 Soit f(z) = z5 + 5z3 + z − 2. Montrer que f a trois de ses zéros dans le disque D(0, 1) et tous ses zéros dans le disque D(0, 3). Exercice 650 Soit c un nombre complexe vérifiant |c| > e. Montrer que l’équation ez = cz a une solution et une seule dans H = { z ∈ C | <ez < 1 }. (On pourra considérer Dr = H ∩ D(1, r) avec r > 2 et les fonctions ez − cz et −cz.) Exercice 651 En utilisant le théorème de Rouché, démontrer le théorème de d’Alembert. Exercice 652 Soit P (z) = zn + a1zn−1 + · · ·+ an, n > 1, aj ∈ C. Montrer qu’il existe un point c de ∂D(0, 1) tel que l’on ait |P (c)| > 1. Exercice 653 Montrer que, si f est holomorphe au voisinage de D(0, 1) et si f(∂D(0, 1)) ⊂ D(0, 1), alors il existe un z0 et un seul dans D(0, 1) tel que l’on ait f(z0) = z0. 31 Fonctions Zeta et autres... 86 Exercice 654 En utilisant le théorème de Rouché, on se propose de donner une preuve du théorème d’inversion local “holomorphe” n’utilisant pas le théorème d’inversion local dans R2. Soit donc f une fonction holomorphe au voisinage d’un point z0 de C telle que f ′(z0) 6= 0. On suppose sans restreindre la généralité que z0 = 0, f(z0) = 0, et f ′(z0) = 1. 1. Montrer qu’il existe un voisinage V de z0 et une constante K > 0 tel que l’on ait, pour tout z dans V , |f(z)− z| 6 K |z2|. 2. Montrer qu’il existe r > 0 tel que, si l’on a |α| < r/2, l’équation f(z) = α a une solution unique dans le disque D(0, r). 3. Montrer enfin qu’il existe un ouvert U de C tel que f soit une bijection de U sur le disque D(0, r/2). 4. En déduire que g = f−1 est continue sur le disque D(0, r/2) et, de là, que g est holomorphe dans ce disque. Exercice 655 On considère la série ∑ n∈Z 1 (z − n)2 . 1. Montrer que cette série converge normalement sur tout compactK de C. En déduire que f(z) = ∑ n∈Z 1 (z − n)2 est une fonction méromorphe sur C. Vérifier que l’on a f(z + 1) = f(z). 2. Déterminer le résidu de f en chacun de ses pôles. Montrer que, si l’on note z = x+ iy, f(z) tend vers 0, uniformément par rapport à x, lorsque |y| tend vers ∞. 3. Montrer que f(z) = ( π sin(πz) )2 . (On pourra utiliser le théorème de Liouville.) En déduire que l’on a ∞∑ n=1 1 n2 = π2 6 . Exercice 656 Soit γn le chemin dont l’image γ∗n est le rectangle de sommets ±(n+ 12 )± in parcouru une fois dans le sens direct. Evaluer pour a /∈ Z ∫ γn πcotan(πz) (z + a)2 dz . Montrer que l’on a lim n→∞ ∫ γn πcotan(πz) (z + a)2 dz = 0 . (On pourra établir auparavant que, si z appartient à γ∗n et si n est assez grand, on a |cotan(πz)| 6 2.) En déduire (cf. exercice 655) que ∑ n∈Z 1 (a+ n)2 = ( π sin(πa) )2 . 31 Fonctions Zeta et autres... 31.1 Divers Exercice 657 Montrer que ∏ n>1 ( 1 + e−nz n2 ) définit une fonction holomorphe sur Ω = {z ∈ C| <ez > 0}. Exercice 658 On se propose de démontrer que pour tout z de C,∏ n>1 ( 1− z 2 n2 ) = sin (πz) πz 1. On pose F (z) = 1 z + ∑ n∈Z,n 6=0 ( 1 z − n + 1 n ) Montrer que F est une fonction méromorphe sur C. 31 Fonctions Zeta et autres... 87 En utilisant ∑ n∈Z 1 (z − n)2 = ( π sin (πz) )2 montrer que F (z) − π tan (πz) est constante sur C \ Z, puis calculer cette constante par un argument de parité. En déduire que π tan (πz) = 1 z + ∑ n>1 2z z2 − n2 2. Pour n > 1, soit fn(z) = 1− z2 n2 . Montrer que ∏ n>1 fn(z) définit une fonction entière f . Montrer que ∑ n>1 f ′n(z) fn(z) = g′(z) g(z) avec g(z) = sin (πz) πz . En déduire le résultat voulu. 3. Déduire de la décomposition de sin (πz) πz en produit que sh z z = ∏ n>1 ( 1 + z2 n2π2 ) ch z = ∏ n>1 ( 1 + 4z2 (2n− 1)2π2 ) cos z = ∏ n>1 ( 1− 4z 2 (2n− 1)2π2 ) Exercice 659 On pose F (z) = ∫ +∞ 0 e−zx 2 dx. 1. Montrer que F est holomorphe sur Ω = {z ∈ C|<ez > 0}. Calculer F ′(z) en fonction de F (z). 2. En déduire une autre expression de F (z) pour z ∈ Ω (on pourra utiliser ∫ +∞ 0 e−x 2 dx = √ π/2). Conclure enfin que la fonction F se prolonge en une fonction holomorphe sur C \ ]−∞, 0]. Exercice 660 (Fonction ζ de Riemann) On introduit la fonction “Zeta” : ζ(s) = ∑ n>1 1 ns I Produit d’Euler Montrer que ζ est holomorphe dans l’ouvert Ω = {z ∈ C| <ez > 1}. Soient p1 = 2, p2 = 3, . . . , pn, . . . la suite des nombres premiers. Montrer que dans Ω, on a ζ(s) = ∏ n>1 1 1− p−sn (produit d’Euler). II Relation de ζ avec la répartition des nombres premiers 1. Montrer que ζ ′(s) ζ(s) = − ∑ n>1 λ(n)n−s où λ(n) = ln p si n est une puissance d’un nombre p premier et λ(n) = 0 si n a au moins deux diviseurs premiers distincts. 2. On a le théorème suivant : Théorème des nombres premiers (Hadamard-De la Vallée Poussin 1896) : Lorsque x tend vers +∞, la somme des λ(n) pour n 6 x est équivalente à x. Démontrer que cette assertion est équivalente à dire que le nombre de nombres premiers plus petits que x est équivalent à x/ lnx. 32 Groupes 90 Exercice 669 Soit l’ensemble G = [0, 1[ muni de la loi de composition interne x∗y = {x+y}, où {x} represente la partie fractionelle du nombre réel x. Montrer que (G, ∗) est un groupe. Montrer que Q∩G est un sous-groupe. Exercice 670 Soit l’ensemble de matrices K := A(x) =  1− x 0 x0 0 0 x 0 1− x  ;x ∈ R \ {1/2}  , muni de la multiplication des matrices. Montrer que c’est un groupe commutatif (abélien). Exercice 671 Soient a, b, c les éléments d’un groupe. Montrer que l’équation xaxba = xbc admet une solution et une seule. Exercice 672 Dans le groupe des entiers modulo 11 muni de l’opération de multiplication, lesquels parmi les ensembles suivants forment des sous-groupes ? (a){1, 3, 4, 5, 9}, (b){1, 3, 5, 7, 8}, (c){1, 8}, (d){1, 10}, (e){1, 3, 10}. Exercice 673 Montrer qu’un groupe ayant au plus 4 éléments est abélien. (Indication : Comparer les éléments e, a, b, ab, ba.) Exercice 674 Lesquels des ensembles de nombres suivants sont des groupes ? 1. Les nombres irrationnels munis de l’addition ; de la multiplication ; 2. Les nombres complexes de valeur absolue 1 munis de l’addition ; de la multiplication ; 3. Les nombres complexes munis de l’opération binaire z ∗ z′ = |z| · z′. Exercice 675 Lesquelles parmi les tables de Cayley suivantes décrivent un groupe ? * a b c d a d c b a b c d a b c b a d c d a b c d * a b c d e a e d b c a b c e d a b c d a e b c d b c a e d e a b c d e Exercice 676 Montrer que si un ensemble E est muni d’une opération binaire qui vérifie les propriétés – (P1) (ab)c = a(cb) ; – (P2) il existe e ∈ E tel que ea = a, ∀a ; – (P3) pour tout a ∈ E il existe b ∈ E tel que ba = e ; alors c’est un groupe abélien. Exercice 677 Montrer que, dans un groupe G, pour tout élément a ∈ G, l’ensemble des x ∈ G tels que ax = xa est un sous-groupe (apellé le centralisateur de a dans G). Montrer que l’ensemble des x ∈ G tels que ax = xa, ∀a ∈ G, est un sous-groupe (apellé le centre de G). Exercice 678 Combien de générateurs différents a un groupe cyclique d’ordre 6 ? Exercice 679 Soit G un un groupe engendré par deux éléments x et y qui vérifient les relations x2 = y3 = e, xy = yx. Ecriver tous les éléments de G et sa table de multiplication. Exercice 680 Trouver une décomposition en produit de transpositions des permutations suivantes : 1. σ1 = ( 1 2 3 2 3 1 ) ∈ S3 ; 2. σ2 = ( 1 2 3 4 4 2 3 1 ) ∈ S4 ; 3. σ3 = ( 1 2 3 4 5 5 1 4 3 2 ) ∈ S5 . 33 Sous-groupes, morphismes 91 Quelle est leur signature ? Exercice 681 Déterminer la signature des permutations : 1. σ = ( 1 2 . . . k . . . n n n− 1 . . . n− k + 1 . . . 1 ) ∈ Sn ; 2. σ = ( 1 2 . . . n− p n− p+ 1 . . . n p+ 1 p+ 2 . . . n 1 . . . p ) ∈ Sn , où p est fixé, 1 6 p 6 n− 1 et n > 2. Exercice 682 Décomposer en produit de cycles à supports deux à deux disjoints les permutations suivantes σ1 = ( 1 2 3 4 5 6 7 6 4 5 7 3 1 2 ) ∈ S7 , σ2 = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 7 8 9 4 5 2 1 6 ) ∈ S9 . En déduire la signature. Exercice 683 Ecriver les produits suivants comme produits de cycles disjoints. (a)(1234)(567)(261)(47) (b)(12345)(67)(1357)(163) (c)(14)(123)(45)(14) Trouver la signature de chaque produit. Exercice 684 1. Vérifier que pour tout cycle (i1 i2 . . . ip), p > 2, dans Sn et toute permutation σ ∈ Sn, σ(i1 i2 . . . ip)σ−1 = (σ(i1)σ(i2) . . . σ(ip)) . 2. Vérifier que pour tous entiers distincts i, j ∈ {1, 2, . . . n} on a (i j) = (i k)(j k)(i k). 3. En déduire que les familles de transpositions {(1 i) | i ∈ {1, 2, . . . n}} et {(i i + 1) | i ∈ {1, 2, . . . n − 1}} engendrent Sn. 4. Soient τ = (1 2) et c = (1 2 . . . n). Calculer ci−1τc1−i pour tout i ∈ {1, 2, . . . n − 1}. Montrer que toute permutation de Sn s’écrit comme un produit de puissances de τ et c. Exercice 685 Dans le groupe symétrique S4 trouver les sous-groupes suivants 1. le sous-groupe des éléments σ tels que l’image par σ de l’ensemble {1, 2} est {1, 2}. 2. le sous-groupe des éléments τ tels que si a ≡ b mod 2 alors τ(a) ≡ τ(b) mod 2. (Indication : (13)(24) fait partie de ce sous-groupe). 33 Sous-groupes, morphismes Exercice 686 1. Trouver l’ordre des permutations suivantes (abcdef)(ghij)(klm) ; (123456)(1234)(123) . 2. Montrer que toute permutation d’ordre 10 dans S8 est impaire. Exercice 687 Soit l’ensemble E = {a, b, c, d, e} qui, muni de l’opération binaire ∗, devient un groupe. Trouver la table de multiplication de ce groupe sachant que a ∗ b = d, c ∗ a = e, d ∗ c = b. Exercice 688 1. Soit n > 2 un nombre entier. Montrer que n est premier si et seulement si tout groupe d’ordre n a seulement deux sous-groupes. 2. Montrer qu’un groupe d’ordre pm, m > 1, où p ∈ N est nombre premier, contient un sous-groupe d’ordre p. Exercice 689 Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes : 1. (Z, +) et (Z[X], +) ; 33 Sous-groupes, morphismes 92 2. (Q, +) et (Q[i], +), où Q[i] := {a+ ib ∈ C | a, b ∈ Q}. Exercice 690 Soit K = {e, a, b, c} un groupe d’ordre 4 tel que x2 = e,∀x. 1. Ecrire la table de multiplication de K. 2. Montrer que K est isomorphe à (Z/2Z× Z/2Z, +) et n’est pas isomorphe à Z/4Z. 3. Montrer que tout groupe d’ordre 4 est ou bien isomorphe à K ou bien à Z/4Z. Exercice 691 Soit (G, ·) un groupe fini d’ordre n. Trouver toutes les morphismes de groupe φ : (Q, +) → (G, ·). Exercice 692 Soit (G, ·) un groupe. On appelle sous-groupe caractéristique de G un sous-groupe invariant par tout automorphisme de G. Montrer que tout sous-groupe caractéristique est distingué. Exercice 693 1. Montrer que S3 contient un sous-groupe H distingué d’ordre 3 et que G/H est isomorphe à Z/2Z. 2. Montrer que les seuls groupes d’ordre 6 sont, à isomorphisme près, le groupe cyclique et S3. Exercice 694 Combien d’automorphismes a un groupe cyclique d’ordre p, où p est un nombre premier ? Et un groupe cyclique d’ordre pq, où p et q sont des nombres premiers distincts ? Exercice 695 Montrer que les seuls groupes distingués de S5 sont {e}, S5, A5. Exercice 696 Soit (G, ·) un groupe. On appelle commutateur un élément de la forme xyx−1y−1. On note [x, y] := xyx−1y−1. 1. Montrer que l’ensemble G′ = [G,G] des produits de commutateurs est un sous-groupe distingué de G. Montrer que G/G′ est un groupe abélien. En particulier cela implique que G′ = {e} ⇔ G abélien. 2. Soit N C G tel que G/N est abélien. Montrer que G′ ⊂ N . 3. Trouver G′ pour G = S3, A5, S5. 4. Montrer que si φ : G → A est un morphisme de G à un groupe abélien A, alors il existe un morphisme ψ : G/G′ → A tel que φ = ψ ◦ π, où π : G→ G/G′ est la projection canonique. Exercice 697 Soit V4 := {e, (12)(34), (13)(24), (23)(14)} ⊂ S4. 1. Montrer que c’est un sous-groupe distingué de S4. 2. Montrer que V4 ' Z/2Z× Z/2Z. 3. Soit H = {e, (12)(34)}. Montrer que H C V4 mais que H n’est pas un sous-groupe distingué de S4. 4. Montrer que S4/V4 est isomorphe à S3. Exercice 698 1. Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique. 2. Soit d ∈ N∗ un diviseur de n ∈ N∗. Montrer qu’il existe un unique sous-groupe d’ordre d dans Z/nZ. Exercice 699 1. Soit G un groupe fini et H un sous-groupe d’indice p, où p est le plus petit facteur premier de |G|. Montrer que H C G. 2. Soit H < S4, H de cardinal 12. Montrer que H = A4. 3. Montrer que A4 n’est pas simple. 4. Montrer que A4 n’a pas de sous-groupe d’ordre 6. Exercice 700 Démontrer les propriétés suivantes 1. (C/R,+) ' (R,+) ; 2. C∗/R∗+ ' S1 ; 3. C∗/S1 ' R∗+ ' R∗/{±1} ; 4. R∗/R∗+ ' {±1} ; 5. (C/Z,+) ' C∗ ; 6. C∗/R∗ ' S1/{±1}. 35 Anneaux, corps 95 Exercice 724 Soit G un groupe abélien de type fini. Montrer que si tout élément de G est d’ordre fini, alors G est fini. Exercice 725 Montrer que Q/Z est un groupe abélien infini dont tout élément est d’ordre fini. En déduire qu’il ne peut pas avoir une famille finie de générateurs. Exercice 726 Soit G un groupe fini abélien. Montrer que pour tout diviseur d de |G| il existe un sous-groupe de G d’ordre d. Exercice 727 1. Trouver les invariants et la décomposition canonique du groupe abélien fini dont les divi- seurs élémentaires (appellées aussi invariants primaires) sont 23, 2, 32, 3, 3. 2. Trouver les diviseurs élémentaires/invariants primaires, les invariants et la décomposition canonique de G = C30 × C18. 3. Trouver les diviseurs élémentaires/invariants primaires, les invariants et la décomposition canonique des groupes abéliens suivants : (a) G1 engendré par a et b tels que 10a = 9b = 0 ; (b) G2 engendré par a, b et c tels que 15a = 6b = 4c = 0. Exercice 728 Soit C muni des opérations binaires z1 ∗ z2 = z1 + z2, z1 ⊥ z2 = z1z2 + Im z1Im z2 . 1. Montrer que (C, ∗,⊥) est un anneau. Trouver ses éléments inversibles. 2. Montrer que l’ensemble de matrices D := {( a b 0 a ) ; a ∈ R, b ∈ R } . muni de l’addition et la multiplication des matrices est un anneau. 3. Montrer que la fonction f : C → D, f(x+ iy) := ( x y 0 x ) est un isomorphisme d’anneaux. Exercice 729 Soit A un anneau non nécessairement commutatif. Soit a, b ∈ A tels que a, b, ab − 1 sont inversibles. Montrer que a− b−1 et (a− b−1)−1 − a−1 sont inversibles. Montrer qu’on a l’égalité [(a− b−1)−1 − a−1]−1 = aba− a. Exercice 730 Montrer que les anneaux de polynômes R[X] et C[X] ne sont pas isomorphes. Exercice 731 Soit A un anneau non nécessairement commutatif, A∗ le groupe des éléments inversibles et I un idéal bilatère de A. Soit U = {a ∈ A∗ | a ≡ 1 mod I}. Montrer que I est un sous-groupe distingué de A∗. 35 Anneaux, corps Exercice 732 Les ensembles suivants sont-ils des anneaux vis-à-vis des opérations usuelles d’addition et de multiplication ? Sont-ils des corps ? (a) { p q ∈ Q | q ∈ {1, 2, 4} } ; (b) { p q ∈ Q | q ∈ {2n ; n ∈ N} } ; (c) Z + √ 5Z ; (d) Z + 3 √ 5Z ; (e) Z + 3 √ 2Z + 3 √ 4Z; Exercice 733 1. Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux et un seul de Z/4Z à Z/2Z, de Z/12Z à Z/3Z, de Z/12Z à Z/4Z. 2. Montrer qu’il n’existe pas de morphisme d’anneaux de Z/3Z à Z/4Z. 3. m et n étant des entiers positifs, trouver des conditions pour qu’il existe un morphisme d’anneaux de Z/mZ à Z/nZ. Exercice 734 Montrer que Z/4Z× Z/4Z a exactement trois sous-anneaux. 35 Anneaux, corps 96 Exercice 735 Dans Z/10Z montrer que les multiples de 5 forment un anneau isomorphe à Z/2Z qui n’est pas un sous-anneau de Z/10Z. Exercice 736 Soit Mn(F ) l’anneau des matrices sur un corps F . 1. Montrer que si X est une matrice non-dégénérée, alors XY 6= 0 et Y X 6= 0, ∀Y 6= 0. 2. Soit X ∈ Mn(F ) et soit l’application linéaire fX : Fn → Fn, fX(v) := Xv. Trouver une écriture de la relation XY = 0, X, Y ∈Mn(F ) en termes de noyaux et images des applications fX , fY . Même question pour la relation Y X = 0. En déduire que toute matrice dégénérée non-nulle est un diviseur de 0. 3. Montrer que tout idéal bilatère de Mn(F ) contient, avec une matrice de rang r, toutes les matrices diagonales de rang r. 4. Montrer qu’un idéal qui contient une matrice non-dégénérée cöıncide avec Mn(F ). 5. Montrer que les seuls idéaux de Mn(F ) sont 0 et Mn(F ). Exercice 737 1. Montrer que l’image réciproque d’un idéal par un morphisme d’anneaux est un idéal. 2. Montrer par un contre-exemple que l’image d’un idéal par un morphisme d’anneaux n’est pas toujours un idéal. Montrer que l’affirmation précédente est toutefois vraie si le morphisme est surjectif. 3. Qu’est-ce qu’on peut dire sur l’image réciproque et l’image d’un idéal premier/maximal par un morphisme d’anneaux eventuellement surjectif ? Exercice 738 Trouver les idéaux maximaux de Z/nZ. Exercice 739 Montrer que tout anneau intègre fini est un corps. Exercice 740 SoitA un anneau principal. Montrer que (a1, . . . , an) = (d) si et seulement si d ∼ pgcd(a1, . . . , an). Exercice 741 Montrer que tout morphisme de corps est injectif. Exercice 742 Soit p un nombre premier et A un anneau intègre de caractéristique p. 1. Montrer que p · a = 0 pour tout a ∈ A. 2. Montrer que p|Ckp , ∀k = 1, . . . p − 1, et en déduire que l’application Fp : A → A, Fp(a) = ap, est un endomorphisme d’anneaux. On appelle Fp l’endomorphisme de Frobenius. 3. Montrer que Fp(a) = a pour tout a dans le plus petit sous-anneau A0 de A contenant 1. 4. Montrer que Fp est un automorphisme si A est fini. 5. Montrer que (Σaibi)p k = Σap k i b pk i , ∀ai, bi ∈ A, k ∈ N∗. Exercice 743 Soit A un anneau intègre et a, b, c ∈ A \ {0}. Montrer que, chaque fois que les pgcdsuivants existent, on a les égalités : 1. pgcd(ca, cb) ∼ cpgcd(a, b) 2. pgcd(pgcd(a, b), c) ∼ pgcd(a,pgcd(b, c)). Si A est en plus factoriel, montrer que 3. pgcd(a, b) ∼ 1 et pgcd(a, c) ∼ 1 implique pgcd(a, bc) ∼ 1. 4. Si a|bc et pgcd(a, b) ∼ 1 alors a|c. 5. Si b|a et c|a et pgcd(b, c) ∼ 1 alors (bc)|a. Exercice 744 Montrer que dans Z[i] 3 est premier et 2 ne l’est pas. Exercice 745 Montrer que Z[i √ 3] et Z[i √ 5] ne sont pas des anneaux factoriels. Exercice 746 1. Montrer que Z[X] est un anneau factoriel. 2. Dans Z[X] montrer que l’ensemble des polynômes de terme constant un nombre pair est un idéal mais non-principal. En déduire que Z[X] est un anneau non-principal. 3. Montrer que l’idéal (X) est premier mais non maximal dans Z[X]. Exercice 747 Montrer que l’anneau des entiers o19 du corps quadratique Q[i √ 19] est principal mais non- euclidien. 36 Polynômes 97 Exercice 748 Soit A un anneau commutatif et soit Nil (A) := {a ∈ A | ∃n ∈ N, an = 0} . 1. Montrer que Nil (A) est un idéal de A. 2. Montrer que si P est un idéal premier de A, alors Nil (A) ⊂ P . 3. Montrer que pour tout x 6∈ Nil (A) il existe un idéal premier P tel que x 6∈ P (Indication : Utiliser le théorème de Zorn). 4. En déduire que Nil (A) = ⋂ P premier P . Exercice 749 1. Montrer que Q( √ d), d = 7, 11, est un corps. 2. Montrer que a+ b √ 7 → a+ b √ 11 n’est pas un isomorphisme de corps entre Q( √ 7) et Q( √ 11). 3. Montrer que les corps Q( √ 7) et Q( √ 11) ne sont pas isomorphes. Exercice 750 F et F ′ étant deux corps, montrer que F × F ′ a seulement deux idéaux non-triviaux, et que c’est un anneau principal. Exercice 751 Montrer que {pq ∈ Q | q impair } est un anneau principal. Exercice 752 Résoudre les congruences simultanées suivantes : 1. x ≡ 2 (mod 7), x ≡ 3 (mod 6) ; 2. 3x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 6 (mod 7), x ≡ 1 (mod 6). Exercice 753 Montrer que deux congruences dans Z de la forme mx ≡ c (mod a), nx ≡ d (mod b) ont une solution commune x ∈ Z quand les coefficients vérifient les conditions pgcd(a, b) = 1, pgcd(a,m) = 1, pgcd(n, b) = 1. Exercice 754 1. Pour les anneaux de polynômes sur un corps F montrer que F [x]/(x2 − 1) ' F [x]/(x2 − 4), F [x]/(x2 + 1) ' F [x]/(x2 + 2x+ 2) , F [x, y]/(x+ y) ' F [x], F [x]/(x+ 1) ' F . 2. Montrer que Q[x]/(x2 − 2) ' Q[ √ 2], Z[x]/(x2 + 1) ' Z[i]. Déduire du dernier isomorphisme que (x2 + 1) est un idéal premier non-maximal. Exercice 755 Si M est un idéal maximal d’un anneau intègre A montrer que l’anneau local AM a exactement un idéal maximal. 36 Polynômes Exercice 756 Soit F un corps et P, Q ∈ F[X] tels que pgcd(P, Q) = 1. Montrer qu’il existe U, V ∈ F[X] tels que UP + V Q = 1, d0 U < d0 Q, d0 V < d0 P . Exercice 757 Trouver tous les automorphismes de l’anneau F[X], où F est un corps. Exercice 758 Utiliser l’algorithme d’Euclide dans Q[X] pour exprimer le pgcd demandé sous forme de combi- naison linéaire des deux polynômes donnés : 1. (X4 + 2X3 −X2 − 4X − 2, X4 +X3 −X2 − 2X − 2), 2. (X5 + 3X4 +X3 +X2 + 3X + 1, X4 + 2X3 +X + 2), 3. (3X3 − 2X2 +X + 2, X2 −X + 1). Exercice 759 Montrer que tout monomorphisme A → A′ d’anneaux intègres engendre un monomorphisme des corps des fractions. Exercice 760 Si Q est le corps des fractions de l’anneaux intègre A, démontrer que le corps des fractions Q(X) est isomorphe au corps des fractions de A[X].